ベクトル解析（極座標系でのrot）

質問

極座標で∇×Ａの公式を証明したいのですが途中の計算で行き詰っています。計算の方法を教えてください。

省略のためちょっと記号を設定させてもらいます。
基底ベクトルe_r,e_θ,e_φをi,j,k、∂/∂r,∂/∂θ,∂/∂φ,を∂r,∂θ,∂φと書かせてもらいます。

∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
Ａ＝Ａr i + Ａθ j + Ａφ K
という設定で∇×Ａを計算しようとしています。

まず∇×(Ａr i) + ∇×(Ａr j) + ∇×(Ａr k)とばらして項ごとに計算しようとしています。
∇×(Ａr i)＝(∇Ａr)×i + Ａr(∇×i)
となると公式にあったのですが、Ａr(∇×i)の部分をどう計算したらいいのか分かりません。

Ａr(∇×i)の部分の計算の仕方を教えてください。それ以前に間違いがあるようでしたらそこを指摘していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

nabla · ベストアンサー

＃１さんも指摘されているように
∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
としたのが誤りでしょう。
おそらくgradientの式を見て上のように置いたのだと思いますが、一般の曲線座標に対してデカルト座標の計算法を持ち込むのは危険です。
正しいやり方は「微分演算子などの変換則を求めてデカルト座標の表式にぶち込む」これしかありません。

三次元は面倒なので二次元でやりますが、
x=rcosθ　　　y=rsinθ
なので、
∂r＝(∂x/∂r)∂x+(∂y/∂r)∂y＝cosθ∂x+sinθ∂y
∂θ＝(∂x/∂θ)∂x+(∂y/∂θ)∂y＝-rsinθ∂x+rcosθ∂y
ですね。
これを∂x、∂yについて解くと
∂x＝cosθ∂r-(sinθ/r)∂θ
∂y＝sinθ∂r+(cosθ/r)∂θ
となります。
同じくベクトルの変換則も求まるので、それを
∂xＡy-∂yＡxに代入すれば極座標でのrotationが求まるはずです。

蛇足ですが微分形式という方法は極めて強力で、どんな座標系でも機械的にgradientやrotation、divergenceが計算できます。（さらに次元がどんどん増えても計算法は全く一緒！）
計算法だけでも習得しておくと便利かもしれません。極座標のラプラシアンすら三十秒で導出できますし。

お礼

∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
についてなんですが、
i=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
j=(cosθcosφ, cosθsinφ, -sinθ)
k=(-sinφ, cosφ, 0)
なので成分ごとに見ると∂x,∂y,∂zになっていると思うんですが。三次元だと面倒なので
∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ
i=e_r=(cosθ, sinθ)
j=e_θ=(-sinθ, cosθ)
として二次元でやってみると
∂x＝cosθ∂r-(sinθ/r)∂θ
∂y＝sinθ∂r+(cosθ/r)∂θ
となってますし。

結果からいうと質問のところに書いた式をそのまま計算できました。
i=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
j=(cosθcosφ, cosθsinφ, -sinθ)
k=(-sinφ, cosφ, 0)
∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
Ａ＝Ａr i + Ａθ j + Ａφ k
として、i,j,kの外積やr,θ,φでの微分は直接計算出来るのでそれを用意しておけば、あとは丁寧に計算すれば出来ました。ばらしたあとのＡr(∇×i)が計算できなかったのですが、うまいこと出来たようです。
∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
を使ってdiv,ラプラシアンもちゃんと計算できました。

お世話になりました。

回答No.1

endlessriver

Ａr(∇×i)は　(∇×i)＝０だから簡単。極座標ではi=erは定ベクトル。

∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φ
が誤りのはずです。
∇×(Ａr i)＝(∇Ａr)×i + Ａr(∇×i)
は大丈夫か？

お礼

ありがとうございます。

∇×(Ａr i)＝(∇Ａr)×i + Ａr(∇×i)
はＡr iをもう少し一般のφＡ（φはスカラー、Ａはベクトル）として計算して確かめたので大丈夫です。

∇＝i ∂r + j (1/r)∂θ + k (1/rsinθ)∂φについてはNo.2のほうに書かせていただきます。