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球面座標表示で∇の計算
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せっかくですから、前の質問 QNo.6428893 http://okwave.jp/qa/q6428893.html の式を使いましょう。 x, y, z 方向の単位ベクトルを、それぞれ ax, ay, az とすると ∇ = ax ∂/∂x + ay ∂/∂y + az ∂/∂z。 (1) ∂/∂x = (∂r/∂x)∂/∂r + (∂θ/∂x)∂/∂θ + (∂φ/∂x)∂/∂φ。 ここで、前の質問の式を使うと ∂/∂x = sinθ cosφ ∂/∂r + (cosθ cosφ / r) ∂/∂θ - {sinφ / (r sinθ)} ∂/∂φ。 同様にして ∂/∂y = (∂r/∂y)∂/∂r + (∂θ/∂y)∂/∂θ + (∂φ/∂y)∂/∂φ = sinθ sinφ ∂/∂r + (cosθ sinφ / r)∂/∂θ + {cosφ / (r sinθ)}∂/∂φ。 ∂/∂z = (∂r/∂z)∂/∂r + (∂θ/∂z)∂/∂θ + (∂φ/∂z)∂/∂φ = cosθ ∂/∂r - (sinθ / r)∂/∂θ。 これらを(1)へ代入し、各偏微分ごとにまとめると ∇ = (sinθ cosφ ax + sinθ sinφ ay + cosθ az) ∂/∂r + {(cosθ cosφ ax + cosθ sinφ ay - sinθ az) / r} ∂/∂θ + {(- sinφ ax + cosφ ay) / (r sinθ)} ∂/∂φ。 (2) ここで、ar の x, y, z 成分を考えることにより sinθ cosφ ax + sinθ sinφ ay + cosθ az = ar であることがわかる。同様にして、 cosθ cosφ ax + cosθ sinφ ay - sinθ az = aθ、 - sinφ ax + cosφ ay = aφ。 よって、(2)は ∇ = ar ∂/∂r + (aθ / r) ∂/∂θ + {aφ / (r sinθ)}∂/∂φ。
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- info22_
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x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ より ∂/∂ｒ=sinθcosφ(∂/∂x)＋sinθsinφ(∂/∂y)＋cosθ(∂/∂z) ∂/∂θ=ｒcosθcosφ(∂/∂x)＋ｒcosθsinφ(∂/∂y)-ｒsinθ(∂/∂z) ∂/∂φ=-ｒsinθsinφ(∂/∂x)＋ｒsinθcosφ(∂/∂y) 逆に解いて ∂/∂x=sinθcosφ(∂/∂r)+(1/r)*cosθcosφ(∂/∂θ)-(sinφ/(rsinθ))(∂/∂φ) ∂/∂y=sinθsinφ(∂/∂r)+(1/r)*cosθsinφ(∂/∂θ)+(cosφ/(rsinθ))(∂/∂φ) ∂/∂z=cosθ(∂/∂r)-(sinθ/r)*(∂/∂θ) x,y,z方向の単位ベクトルをそれぞれi,j,kとおくと i=sinθcosφ*ar＋cosθcosφ*aθ-sinφ*aφ j=sinθsinφ*ar＋cosθsinφ*aθ＋cosφ*aφ k=cosθ*ar-sinθ*aθ なので ∇=i(∂/∂x)+j(∂/∂y)+k(∂/∂z) =（sinθcosφ*ar＋cosθcosφ*aθ-sinφ*aφ){sinθcosφ(∂/∂r) +(1/r)*cosθcosφ(∂/∂θ)-(1/r)sinθsinφ(∂/∂φ)} +(sinθsinφ*ar＋cosθsinφ*aθ＋cosφ*aφ){sinθsinφ(∂/∂r) +(1/r)*cosθsinφ(∂/∂θ)＋(1/r)*sinθcosφ(∂/∂φ)} +(cosθ*ar-sinθ*aθ){cosθ(∂/∂r)-(1/(rsinθ))(∂/∂θ)} =(∂/∂r)ar＋(1/r)*(∂/∂θ)aθ＋(1/(rsinθ))(∂/∂φ)aφ
お礼
詳細に説明して下さってありがとうございました。 #1さんの説明と合わせて理解できました。 勉強になり、最後まで導けたのですっきりしました。 この式の意味を忘れないよういつも式が導けるようにしっかり覚えておきます。 ありがとうございました。
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