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極座標系における∇×Aの計算
直交座標系(x,y,z)を極座標系(r,θ,ψ)に変換すると x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ となりますよね。 これを用いて極座標系で∇×Aを計算すると、 その演算結果は以下のようになるらしいのですが、 その導出過程が分かりません。最初の 1/r^2sinθはヤコビアンで補正をかけているような 気がするのですが、その他の項には1/rsinθや1/rが 出てきてこれらが何を表しているのかさっぱり?で、 やっぱり分かりません。宜しければ教えていただけないでしょうか?(第1行目の(^r),(^θ),(^ψ)はそれぞれの 方向の単位ベクトルです。)お願いいたします。 ∇×A= |(^r)/r^2sinθ (^θ)/rsinθ (^ψ)/r | | ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂ψ | | A_r rA_θ rsinθA_ψ |
- linuxbeginner
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#1です。 ▽×A ={e_r(∂/∂r)+(e_θ/r)(∂/∂θ)+(e_ψ/rsinθ)(∂/∂ψ)}×(A_re_r+A_θe_θ+A_ψe_ψ) の計算について捕捉します。まず、 ∂e_r/∂r=∂e_θ/∂r=∂e_ψ/∂r=0 ∂e_r/∂θ=e_θ ∂e_θ/∂θ=-e_r ∂e_ψ/∂θ=0 ∂e_r/∂ψ=e_ψsinθ ∂e_θ/∂ψ=e_ψcosθ ∂e_ψ/∂ψ=-e_θcosθ-e_rsinθ および、 e_r×e_r=e_θ×e_θ=e_ψ×e_ψ=0 e_θ×e_ψ=e_r e_ψ×e_r=e_θ e_r×e_θ=e_ψ に注意すれば、 {e_r(∂/∂r)+(e_θ/r)(∂/∂θ)+(e_ψ/rsinθ)(∂/∂ψ)}×(A_re_r+A_θe_θ+A_ψe_ψ) =e_r×(∂/∂r)(A_re_r) +e_r×(∂/∂r)(A_θe_θ) +e_r×(∂/∂r)(A_ψe_ψ) +(e_θ/r)×(∂/∂θ)(A_re_r) +(e_θ/r)×(∂/∂θ)(A_θe_θ) +(e_θ/r)×(∂/∂θ)(A_ψe_ψ) +(e_ψ/rsinθ)×(∂/∂ψ)(A_re_r) +(e_ψ/rsinθ)×(∂/∂ψ)(A_θe_θ) +(e_ψ/rsinθ)×(∂/∂ψ)(A_ψe_ψ) =e_r×e_r(∂A_r/∂r) +e_r×e_θ(∂A_θ/∂r) +e_r×e_ψ(∂A_ψ/∂r) +(e_θ/r)×e_r(∂A_r/∂θ) +(e_θ/r)×A_r(∂e_r/∂θ) +(e_θ/r)×e_θ(∂A_θ/∂θ) +(e_θ/r)×A_θ(∂e_θ/∂θ) +(e_θ/r)×e_ψ(∂A_ψ/∂θ) +(e_θ/r)×A_ψ(∂e_ψ/∂θ) +(e_ψ/rsinθ)×e_r(∂A_r/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×A_r(∂e_r/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×e_θ(∂A_θ/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×A_θ(∂e_θ/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×e_ψ(∂A_ψ/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×A_ψ(∂e_ψ/∂ψ) =e_ψ(∂A_θ/∂r) -e_θ(∂A_ψ/∂r) -(e_ψ/r)(∂A_r/∂θ) -(e_θ/r)×A_θe_r +(e_r/r)(∂A_ψ/∂θ) +(e_θ/rsinθ)(∂A_r/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×A_re_ψsinθ -(e_r/rsinθ)(∂A_θ/∂ψ) +(e_ψ/rsinθ)×A_θe_ψcosθ +(e_ψ/rsinθ)×A_ψ(-e_θcosθ-e_rsinθ) =e_ψ(∂A_θ/∂r) -e_θ(∂A_ψ/∂r) -(e_ψ/r)(∂A_r/∂θ) +(e_ψ/r)A_θ +(e_r/r)(∂A_ψ/∂θ) +(e_θ/rsinθ)(∂A_r/∂ψ) -(e_r/rsinθ)(∂A_θ/∂ψ) -(e_ψ/rsinθ)×A_ψe_θcosθ -(e_ψ/rsinθ)×A_ψe_rsinθ =e_ψ(∂A_θ/∂r) -e_θ(∂A_ψ/∂r) -(e_ψ/r)(∂A_r/∂θ) +(e_ψ/r)A_θ +(e_r/r)(∂A_ψ/∂θ) +(e_θ/rsinθ)(∂A_r/∂ψ) -(e_r/rsinθ)(∂A_θ/∂ψ) +(e_r/rsinθ)A_ψcosθ -(e_θ/rsinθ)A_ψsinθ =(e_r/r^2sinθ){A_ψrcosθ+rsinθ(∂A_ψ/∂θ)-r∂A_θ/∂ψ} +(e_θ/rsinθ){∂A_r/∂ψ-rsinθ(∂A_ψ/∂r)-A_ψsinθ} +(e_ψ/r){r∂A_θ/∂r-(∂A_r/∂θ)+A_θ} =(e_r/r^2sinθ){(∂/∂θ)(rsinθA_ψ)} -(e_r/r^2sinθ){(∂/∂ψ)(rA_θ)} +(e_θ/rsinθ){(∂/∂ψ)A_r} -(e_θ/rsinθ){∂/∂r)(A_ψrsinθ)} +(e_ψ/r){(∂/∂r)(rA_θ)} -(e_ψ/r){(∂/∂θ)A_r} となって、公式に一致します。
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- endlessriver
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大丈夫。あなたの式はあっています。 導出はベクトル解析の本で。
- mech32
- ベストアンサー率57% (23/40)
▽×Aの計算を行列式で行うことができるのは、一般に、直交座標の場合だけです。そこで、球座標の場合は、成分表示ではなく、各ベクトルの意味にまで遡って計算する必要があります。具体的には次のような計算をします。ただし、e_r、e_θ、e_ψをそれぞれ、半径方向、天頂角方向、方位角方向の単位ベクトル、A_r、A_θ、A_ψをそれぞれ、Aの半径方向、天頂角方向、方位角方向の成分とします。 ▽×A ={e_r(∂/∂r)+(e_θ/r)(∂/∂θ)+(e_ψ/rsinθ)(∂/∂ψ)}×(A_re_r+A_θe_θ+A_ψe_ψ) この計算を丁寧に行うと、正解に一致するはずです。ちょっと時間がないので、計算の課程は省かせて下さい。
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お礼が遅くなり申し訳ございませんでした。 丁寧なご回答ありがとうございます。