- ベストアンサー
調和振動子
vortexcoreの回答
- vortexcore
- ベストアンサー率63% (46/73)
サイエンス社の藤原、岡崎著「演習量子力学」（黄色い本）の37ページに（一般的な場合の）答えがありますので、レポートの答えならここを写せば良いのではないでしょうか。ただ、教官というのはたいていの参考書はパラパラと読んでるので、丸写しではばれると思いますが。 積分のどの部分が解らないのか書いていただければ、具体的なアドバイスが出てくると思います。
関連するQ&A
- 調和振動子の最小エネルギーについて
不確定性関係ΔxΔp=h/4πのとき 調和振動子のエネルギーEが E=(Δp^2)/(2m)+(mω^2Δx^2)/2 で定義されているとき、Eの最小値を計算したいのですが ラグランジェの未定数法乗を使わずに 計算しようとして不確定性関係からΔpを消去して E(Δx)=h^2/(32π^2mΔx)+(mω^2Δx^2)/2 に変形しました。 次にdE/dΔx=0 になるΔx が計算できずに困っています。 そして計算で求まった最小エネルギーの物理的意味 も併せてわかる方がいたら教えてください。
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子力学の問題で困っています
量子力学の問題なのですが手元に資料が少なく、またネットで調べてもよくわからないので誰か教えて下さい。 １次元の調和振動子の規定状態の波動関数は一座表表示で次のように書ける Ψ(x,t) = Aexp(-2mωx^2/2h)exp(-iωt/2) これが調和振動子のシュレディンガー方程式の解であることを確かめなさい という問題なのですが調和振動子のシュレディンガー方程式というのは (-h^2/2m)d^2Ψ/dx^2 + mω^2x^2Ψ/2 = EΨ でいいのでしょうか？ この方程式では時間の項を考慮していないように見えるのですが また、運動量の固有関数が f(x) = (1/√2πh)exp(ipx/h) であることを用いて、この波動関数Ψ(x,t)の運動量表示Φ(p,t)を求めなさい という問題も計算がうまくいかなくて困っています。教えていただけませんか？ 式中のhは全てエイチバーです。よろしくお願いします
- 締切済み
- 物理学
- 調和振動子の固有値
壁|---○---○---|壁 上の図のように、ばね定数Kの3つのバネ3本で連結された二つの粒子(質量はともにm)の運動のうちで、バネに平行な方向の成分だけに着目して、そのハミルトニアンを 重心座標 X=(x1+x2)/2 相対座標 x=x1-x2 を用いて書き直すと H=[{-(hbar)^2/4m}(∂/∂X)^2 +KX^2]-[{(hbar)^2/m}(∂/∂X)^2 + 3Kx^2/4}] となる。 ここから固有値を求めるわけですが、解説には 重心運動は 質量 2m ばね定数 2K 相対運動は 質量 m/2 ばね定数 3K/2 となってωo=√(K/m) ω=√(3K/m) 固有関数は、それぞれの固有関数の積、固有値は和であらわされるから、 εNn=(N+1/2)(hbar)ωo + (n+1/2)(hbar)ω と書いてあります。 ここで二つ質問があって、 (1)重心運動のばね定数が 2K 相対運動の 質量 m/2 ばね定数 3K/2 という風にどうして表されるのか、 (2)なぜ調和振動子の固有値はそれぞれの和で表されるのか というのが分かりませんでした。 どなたかご教授ください。お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 一次元調和振動子について
一次元調和振動子の問題を演習して分からない問題がでてきたので質問させていただきます。 ハミルトニアンH=(-h^2/2m)d＾2/dx^2+mw^2x^2/2・・・(１) Hψ＝Eψのシュレディンガー方程式において (１)のハミルトニアンにポテンシャルV＝αx,V=βx^2が加わったときの固有エネルギーをそれぞれ求め、このポテンシャルが加わったことで運動がどのように変化するか簡単に説明しなさい。ただしα、β＞0とする。 演算子を使っていろいろ試行錯誤してみましたが、なかなか解答にたどり着けません、よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 物理学
- 物体に摩擦力が働く調和振動
<<問題>> 水平な床の上を、ばね定数kのばねで繋がれた質量mの物体が運動する場合を考える。ばねの自然の長さからの変位をxとし、x軸を右方向が正となるように選ぶことにする。時刻t＝0においてx=X（X≧０）で静かに手を離す場合の物体の運動について、次の問いに答えなさい。動摩擦係数をμ 重力加速度をgとする。 摩擦力が働いている場合、運動方程式は非同次方程式となる。その特別解をx=Aの形に仮定し,xが解となるようにAをμ,g,m,kで表しなさい。 <<解法>> 摩擦力が０の場合の一般解を求めて、それを摩擦力≠０の時の運動方程式に代入していくと 2 mω (Acosωt＋Bsinωt)＝-k(Acosωt＋Bsinωt)＋F ここまでは分かるのですが、ここからどのようにして Aを表していけばいいかがわかりません。 お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 一次元調和振動子の平均のエネルギー＜Ｅ＞
温度Ｔで、質量ｍのバネがボルツマン分布する時の平均のエネルギー＜Ｅ＞を知りたいのですが、 ＜Ｅ＞＝∬Ｅｅｘｐ（―Ｅ／ｋＴ）ｄｘｄｐ／∬ｅｘｐ（―Ｅ／ｋＴ）ｄｘｄｐ （ｋはボルツマン定数、pはX方向の運動量、Ｅ＝１／２・ａ2乗・ω2乗） の解き方がよくわかりません。どうしたら、いいんでしょうか？
- 締切済み
- 物理学
- 振動です
図のように、2つのばねk1,k2と2つの質量m1,m2がとり付けられています。xo(t)＝Xosinωtで支持部が変位するとき （１）この振動系の運動方程式を導出しなさい 私の回答 m１（d^2 x1 /dt^2）=-k1(x1-xo)+k2(x2-x1) と m2(d^2 x2 /dt^2)=-k2(x2-x1) (2)k1=2k , k2=k ,m1=m ,m2=m/2 の時、設問（１）の運動方程式はどう書き直せるか。ωo＝√（k/m）を用いて記述せよ 私の回答 （d^2 x1 /dt^2）=-2（ωo＾２）（x1-xo）+（ωo＾２）(x2-x1) （d^2 x2 /dt^2）=-2（ωo＾２）(x2-x1) (3)ωo=1rad/sのとき、設問（２）の運動方程式を用い、固有角振動数ωnを求めよ。 この問題を見た瞬間、あれωoが（不減衰）固有角振動数でないの？って思いました。ωoとωn何が違うのですか？ それと設問（１）（２）は正しいですか？教えてください
- 締切済み
- 物理学
- フーリエ変換について
確率変数p(x) p(x)=( 1 / √(2πv) ) exp[ -( (x-m)^2) / (2v) )] を、フーリエ変換 ∫ p(x)exp[-jωx)] dx で、1 / √(2πv') ∫ exp[-( (x-jb)^2 / 2v )]dx =1 を用いてもよい。 ω、bは任意の実数、v'は任意の正の実数（ ∫ 表記は、いずれも-∞~∞） という問題を計算する問題についてですが、途中から解けなくなって困っています。 x' = x - mとおき、上記の用いて良い式を用いて計算した結果 exp[-( (2jvωm) / 2v ) + ((v^2*ω^2) / 2v) ] と出ました。 これで解けているのでしょうか？ 回答よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 量子力学の問題(期待値を求める)
量子力学の問題について、自分で解いたのですが正しいか自信がありません。各問いで解答が正しいか、また考え方が正しいかご教授をお願いします。 問題 ポテンシャルV(x)=-gxの中を運動する質量mの粒子について。ある時刻t=ｔ0において粒子の波動関数が次のように与えられたとする。 Ψ(x,to)=Ｃexp(-ax^2+ibx) (a,b,Cは正の実数) このとき、 (1)t=toにおける位置の期待値 (2)t=toにおける運動量の期待値 (3)時刻tにおける位置の期待値 (4)波動関数Ψ(x,t)が従う、時間に依存するシュレディンガー方程式 を求めよ。 解答 (1)＜Ψ(x,to)*| x |Ψ(x,to)＞ =∫[-∞,∞]Ｃexp(-ax^2-ibx)・x・Ｃexp(-ax^2+ibx)dx =Ｃ^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx を計算して答えが0になりました。(この積分を直接計算できませんでしたが、被積分関数のグラフを考えると原点対象だったので、-∞から∞に積分して０になるだろうと考えました。) (2)＜Ψ(x,to)*| －ihd/dx |Ψ(x,to)＞ =… =hbＣ^2∫[-∞,∞] exp(-2ax^2)dx =hbＣ^2×√π/√(2a) (最後の積分でガウス積分の公式を使いました。) (3)ハミルトニアンが時間に依存しないので、時刻tにおいて波動関数ψは ψ(x,t)=Ψ(x,to)exp(-iEt/h)=Ｃexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h) とおける。従って求める期待値は、 ＜ψ(x,t)*| x |ψ(x,t)＞ ＝∫[-∞,∞]Ｃexp(-ax^2-ibx)・exp(iEt/h)・x・Ｃexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)dx ＝Ｃ^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx ＝０ (結局(1)と同じ) (4)(-h^2/2m(d^2/dx^2)-gx)ψ(x,t)＝ihd/dtψ(x,t)
- ベストアンサー
- 物理学
- 量子力学の期待値の問題です
波動関数φ(x)=C*exp(-x^2/2a^2)から不確定性関係を導く問題です。 運動量のp^2の期待値<p^2>の計算がわかりません <p^2>=∫φ(x)'*p^2*φ(x) *φ'(x)は共役複素数 =|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx =|c|^2*(-ih)*(4/a^4) ∫x^2* exp(-x^2/a^2) dx ここで |C|^2=1/a√π (規格化より求めた) ∫x^2* exp(-x^ｌ2/a^2) dx=(a^3*√π)/2 を代入して <p^2>= -2ih 以上のようになったのですが、間違っている気がしてなりません。 間違いがあったらご指摘お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学