2つの筒の中の電位

質問

半径がaの金属の筒とbの金属の筒があってその間の半径rの場所の電位を求める
という問題なのですが(a<r<b)電荷は単位長さあたりσCで筒は重ねてある状態です。上から見ると◎こんな感じ。
半径の小さい方が＋大きい方が－なので力線は中から外へでていると思います。
長さ方向は上が＋です。一般的に電位E＝Q/4πε0r^2
これにQ=断面の全電荷として断面積πr^2をかけて筒の長さをl(エル)としてかけて
E=Ql/4ε0　としたんですがσをどう使えばいいのかわかりません。
この考え方自体あっているのかもわかりません。
教えてください。お願いします。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

> 電荷が円筒の表面のみに存在するので円筒の上下は考えなくて良い
間接的にはそうですが，側面では En≠0 であるのに対し，
上下底面では En = 0 だからです．

> Enは電場の垂直成分
そのとおりですが，面積分の面素に対して垂直と言う意味です．念のため．

> 点電荷が作る電荷の式
点電荷が作る【電場】の式，ですね．ミスタイプと思いますが．
もちろん，求めようとする電場は E＝Q/4πε0r^2 ではないわけです．
> 一般的に電位E＝Q/4πε0r^2
を見ると，電荷の配置などに関係なくいつでも電場は E＝Q/4πε0r^2
だと思っているような印象を受けますが，そこらへんは大丈夫でしょうか？

> 電場と電位の関係はV(電位差)＝E(電場の強さ)×d(距離) 　E＝V/d
E が空間の場所によらないならこれでいいですが，
距離 d の間に E が変化したらどうします．
(大体，E が場所によらないなんて，極めて特別な状況です)
こういうときはいつも積分が出てきますね．
長方形の面積なら (幅)×(高さ) でいいですが，幅の間に高さが変化したら
どうします？
高さを f(x) としたら ∫{a～b} f(x) dx で面積が求められますよね．
今も同様の話です．
これが，saikoro さんの
> さあ、これでガウスの法則を適用させて、積分すると．．．
の意味です．
電場の線積分が電位と結びついていたはずです．
ついでに電位の基準点はどこに取るんでしたっけ．
標準的取り方が可能な場合と不可能な場合とがあります．

それから，質問で
> これにQ=断面の全電荷として断面積πr^2をかけて筒の長さをl(エル)としてかけて
とありますが，ガウスの法則の積分は面積分ですよ．
体積積分と誤解していませんか？

そもそも，ガウスの法則から直接電場を出そうというのは普通はできない話です．
ε_0 ∫E_n dS=(閉曲面sにある電荷の和)
ですから，勝手に閉曲面を決めたら電場の積分値がわかるだけです
(右辺は計算できる)．
求めたいのは，空間座標の関数としての電場です．
積分値しかわからないんじゃ，関数形はわかりません．
∫{0～1} f(x) dx = 1 から f(x) を決めようがないのと同じことです．
ところが，対称性の事情により，
左辺の積分が単に表面積を掛けるだけに帰着される場合は
電場を求めることが可能です．
そこらへんの理解は大丈夫ですか？

テキストにガウスの法則の例題がありませんか？
無限に長い直線上に一様な線密度で電荷が分布している話などありませんか？
なかったら，図書館などでテキストをいくつか探してみてください．，

お礼

色々ご親切に有難うございました
ε0∫Ends=ε02πrlE=σl
E=σ/(2πrε0)となりました

まだまだわからないのでわかるように頑張りたいと思います

回答No.3

siegmund

私も誤解をしておられると思います．
では，私はチェックポイントを．

○ 電場(電界)と電位を混同していませんか？
○ 電場の E(ベクトル量) と E_n の区別はついていますか？
○ ガウスの法則は閉曲面について成立するのもです．
　 だから，円筒だったら上下底面も本来考えなくてはいけないのですが，
　 今の場合に考えなくていい理由は大丈夫ですか？
○ E＝Q/4πε0r^2 とはどういう場合の何についての式ですか？
　 今の場合に適用できるのですか？
○ 金属(導体)に電荷を与えたとき，電荷はどこに存在しますか？
○ 電場から電位を求めるのはどうするんでしたっけ？
　 また，電位から電場を求めるには？
○ σは電荷の線密度，面密度，体積密度，どれですか？

以上のあたりに注意して，テキストを熟読してください．

私も大学で電磁気関係の授業をよく持っていますが，
ある式が一般的に成立する式なのか，
それとも特別な場合の式なのか，
そこら辺の認識が不十分な学生さんが多いようです(電磁気に限らないが)．
話の組み立てを理解せずに式だけテキストから拾ってくるようなことに
なっていないでしょうか？

補足

○電場は静電気力のはたらく場
電位は電場に置かれた正電荷の持つ位置エネルギー
○電場のEは電場の強さと向きを表す
Enは電場の垂直成分
○電荷が円筒の表面のみに存在するので円筒の上下は考えなくて良い
○点電荷が作る電荷の式
○金属の表面に存在
○電場と電位の関係はV(電位差)＝E(電場の強さ)×d(距離)
　E＝V/d
○σは線密度
だと思います

回答No.2

saikoro

勘違いしておられるようなので、ヒントだけ。

> ∫Ends=(閉曲面sにある電荷の和)

電荷が存在するのは筒表面だけですよね。
だからa<r<bの閉曲面ではQ=σlと思います。

> 円柱の側面しか考えなくて良いんですね

閉局面の面積は2πrl、電荷はσｌ
すなわちlは関係ありません。

さあ、これでガウスの法則を適用させて、積分すると．．．

お礼

有難うございました
理解できるよう頑張ってみます

回答No.1

guiter

いろいろ誤解をしておられるようです。
電磁気の教科書のガウスの定理あたりを良く読んでみてください。

補足

ガウスの定理とガウスの法則というのがあるんですが,教科書を読んでもよくわかりません。閉曲面を半径rの場所で考えたとして…円柱の側面しか考えなくて良いんですね?上と下は考えなくて良くて、ε0∫Ends=(閉曲面sにある電荷の和)とすると電位はlε0∫Ends/2ε0rですか?