正四面体

質問

図が書けないので、文字で説明します。
正四面体A-BCDを考えます。
Aが頂点でBCDを底面し、CDの中点をEとします。
面ABEで切断すると、
この面はAE=BEの2等辺三角形になります。
Aから辺BEに垂線をおろし、またBから辺AEに垂線をおろします。それぞれの垂線の足をHとIとします。
また、AHとBIの交点をOとします。

このとき、BH：HE＝AI：IE＝２：１、AO：OH＝３：１になるらしいのですが、理由が分かりません。文字ばかりで申し訳ないですが、教えて頂けませんか？

回答No.2

postro · ベストアンサー

正四面体の１辺の長さを２とします。
三角形ＥＡＢを考えます。
ＥからＡＢに垂線をおろしその垂線の足をＫとします。
∠ＡＥＫ＝θ　とします。
AB=2 ,EA=EB=√3 ,EK=√2
cosθ=EK/AE=√(2/3)
cos2θ=2(cosθ)^2-1=1/3
EH=AEcos2θ=√3*(1/3)
よってBH：HE＝２：１　同様にしてAI：IE＝２：１
OEcosθ=OE*√(2/3)=EH=√3*(1/3)
OE=1/√2
(OH)^2=(OE)^2-(EH)^2=1/6
OH=1/√6
(AH)^2=(AE)^2-(EH)^2=3-(1/3)=8/3
AH=√(8/3)
AH=4*OH
AO：OH＝３：１

お礼

丁寧に計算して頂いてありがとうございました。
かなりわかりやすかったです。
回答ありがとうございました。

回答No.3

bizz22

回答はもうNo.1・2のかたがおっしゃってる通りでいいと思います。
そこで提案ですが、この問題の場合チェバの定理というものをおすすめします。

まず、この定理を使う前にＢＨ：ＨＥを求めます。
正四面体と言うものは頂点(Ａ)からの垂線と底面(ＢＣＤ)との交点は底面の重点になるんです。
だから、ＢＨ：ＨＥ＝２：１になるです。
そしてＥＯの延長とＡＢとの交点をＪとします。
ここでチェバです。
この問題で適用するとＡＪ／ＪＢ・ＢＥ／ＥＨ・ＨＯ／ＯＡ＝１になるんです。
だから、ＡＯ：ＯＨ＝３：１となります。

文字での説明ではややこしくなりますがこんなとこです。
メネラウスの定理も使いやすいので調べてみてください。
チェバについてはＵＲＬのせておきます。

参考URL：

http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/ceva-j/ceva-j.html

お礼

チェバの定理・・・聞いたこともなかったです。
スゴく勉強になりました。
あと、正四面体の垂線と重心の関係も参考になりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

ken1tar0u

CD の中点が E なら、三角形 ABE の各辺の長さが判りますね。あとは四面体のことは忘れてこの三角形 ABE だけを紙に書いて考えれば良いわけです。
そこで作戦ですが、点 E を原点だと思って、ヴェクトル EA, ヴェクトル EB を使ってヴェクトル EH, EI, EO を表してみましょう。
そうすれば見えてくるはず。

お礼

ABEだけで考えてみるだけでわかりやすくなりました。
回答ありがとうございました。