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正四面体について垂線と中線が交わることの証明
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- Mr_Holland
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ベクトルで考えて AH=tAM (t:実数、ベクトル表記は省略。以下同様) であることを示せば良いと思います。 正四面体の1辺の長さをaとすると、3つのベクトルOA,OB,OCのなす角は60°ですので、次の関係があります。 |OA|=|OB|=|OC|=a OA・OB=OB・OC=OC・OA=a^2 cos60°=a^2/2 OH=pOA+qOB+rOC (p,q,rは実数)とおいてOHをOA,OB,OCだけで表します。 OH⊥AB,OH⊥BC から OH・AB=a^2/2 (q-p)=0, OH・BC=a^2/2 (r-q)=0 ∴p=q=r=1/3 ∴OH=p(OA+OB+OC) また、|OH|は 点Oを原点とし3点A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)とおくと、ABC平面の方程式はx+y+z-a=0 となります。このとき平面ABCと原点との距離は ヘッセの公式から |a|/√3=a/√3 と求められます。このことから、 |OH|=p√3=a/√3 ∴p=1/3 ∴OH=(1/3)(OA+OB+OC) ここから、AH=(2/3){-OA+(1/2)OB+(1/2)OC} と分かります。 他方、点Mは線分BCを1:1に内分する点ですので AM=(1/2)AB+(1/2)AC=-OA+(1/2)OB+(1/2)OC と書け、 AH=(2/3)AM となりますので、点Hは中線AM上にあることが言えます。
お礼
ご回答ありがとうございます。 残念ながら当方はベクトルの理解までは進んでいないのですが、証明方法のひとつとして大変参考になります。 ありがとうございました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
いくつかやり方はあると思う. とりあえず ・O は 3点 A, B, C から等距離 ・OH と AM は平行でなく, かつ 同じ平面上にある の 2つは思いついた.
お礼
ご回答ありがとうございます。 証明方法のご指南、大変参考になります。 自分でもっともすんなり納得できる解法を模索したいと思います。 みなさまありがとうございました。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 正四面体を真上から見る、という発想は自分ひとりで考えた場合おそらく浮かばなかった方法だと思います。 もやもやがすっきり解決しました、ありがとうございます。 簡単な理屈で説明していただいたのでこちらをベストアンサーとさせていただきます。