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正四面体
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正四面体をOABCとし，Oを原点として A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれa，b，cとする． 正四面体の一辺の長さを1として一般性を失わない． このとき，ベクトルgをg=(a+b+c)/3とする． このベクトルgが平面ABCと直交することを示せばよい． つまり， a-bとg，b-cとgの内積が0であることを示せばよい． 正四面体であることより (a,b)=(b,c)=(c,a)=1/2 |a|=|b|=|c|=1 だから (a-b,3g)=(a-b,a+b+c)=|a|^2+(a,b)+(a,c)-(b,a)-|b|^2-(b,c) =0 (b-c,3g)=0も同様
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以前に回答した以下をご覧下さい。 http://questionbox.jp.msn.com/qa6327570.html 正四面体を真上から見た場合、頂点は上記回答の添付図の通りの位置となります。この位置が、三角形の重心と同じであれば、『正四面体の一つの面をＳとすると、面Ｓの重心と面Ｓに対する頂点を通る直線は、面Ｓに垂直に交わる』と言えます。 上記回答で記す通り、線AOを線BCまで伸ばしたらBCを等分します。他の二辺も同様です。従って、点O(真上から見た時の頂点)は真上から見た三角形の重心であると分かります。 以上から、、『正四面体の一つの面をＳとすると、面Ｓの重心と面Ｓに対する頂点を通る直線は、面Ｓに垂直に交わる』と言えます。
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回答ありがとうございました。 感覚的に理解できてよかったです。
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