直線の通過範囲について

質問

直線の通過範囲についての問題です。「実数tによって定まる２点P(0,-t) , Q(t , t^2 - t)がある。tがすべての正の実数を動くとき線分PQが通過する範囲を図示せよ。」
という問題についてなのですが、一行目に「実数t」という表現があるにもかかわらす、「tがすべての正の字数を動く」とはどういうことでしょうか。おかしくないでしょうか。「実数」と「正の実数」では明らかにイコールではないですよね。どう考えればよいのでしょうか。

回答No.8

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どうやら方程式は合っているようです。さて解説しましょう。
「直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０ 」
なぜこれが求める式になるのかわからないのか。

一般に直線Ｌ：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の法線ベクトルは、Ｐ＝（ａ，ｂ）である。
＜証明＞
与式⇔ｂｙ＝－ａｘ－ｃ
ｂ＝０のときは自明。
ｂ≠０のとき、両辺をｂで割って、
ｙ＝（－ａ／ｂ）ｘ＋（－ｃ／ｂ）
このとき、直線Ｌの方向ベクトルＱ＝（－ｂ，ａ）＝（ｂ，－ａ）（∵傾きを考えよ）
よって、（ａ，ｂ）・（－ｂ，ａ）＝（ａ，ｂ）・（ｂ，－ａ）＝０なので、
直線Ｌの法線ベクトルはＰ＝（ａ，ｂ）（∵あるベクトルとあるベクトルが垂直⇔内積＝０）

＜考察＞直線の方程式を求めるには、次のようにすればよい。
その直線上の点（ｘ，ｙ）とし、その直線上のわかっている点を（ｐ，ｑ）とすれば、
直線の方向ベクトルＬ＝（ｘ－ｐ，ｙ－ｑ）である。
よって法線ベクトルｍ＝（ａ，ｂ）と垂直より、
（ａ，ｂ）・（ｘ－ｐ，ｙ－ｑ）＝０（もうわかっていると思うが、この場合・は内積を表わしている）
⇔ａｘ＋ｂｙ－ａｐ－ｂｑ＝０
⇔ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０（ｃ＝－ａｐ－ｂｑ）
とこのように簡単に出来る。

さてこれでご質問は簡単に理解できるだろう。ご自分でお考え下さい。

＞回転曲線群と回転直線がどのような物なのかわからないので、お教えいただけますでしょうか。何度もすいません。
私の間違いです。
回転曲線群ではなく、「回転直線群」と、次に回転直線ではなく「回転直線群」と直してください。

ところで解答は合っているでしょうか。実は疲れてたので見直してないんですよね。

お礼

お返事どうもありがとうございます。ご説明していただいたおかげで、やっとわかりました。ありがとうございました。

＞求める領域は（過程省略）
１＜ｘ，０≦ｙのとき、０≦ｘ^2－ｘ≦ｙ
ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０
但し点（１、０）はこれに含まれる。
以上これでどうだ。

解答の方なのですが、図を見てみると、「ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０ 」→「0≦ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０ 」です。Q(0,-t)なので。
お返事ありがとうございました。