直線の通過範囲について

質問

直線の通過範囲についての問題です。「実数tによって定まる２点P(0,-t) , Q(t , t^2 - t)がある。tがすべての正の実数を動くとき線分PQが通過する範囲を図示せよ。」
という問題についてなのですが、一行目に「実数t」という表現があるにもかかわらす、「tがすべての正の字数を動く」とはどういうことでしょうか。おかしくないでしょうか。「実数」と「正の実数」では明らかにイコールではないですよね。どう考えればよいのでしょうか。

回答No.5

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→ＰＱ＝（ｔ，ｔ^2－２ｔ）∴→ＰＱの法線ベクトル＝（ｔ^2－２ｔ，－ｔ）
直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2－２ｔ，－ｔ）＝０
⇔（ｔ^2－２ｔ）ｘ－ｔ（ｙ＋ｔ）＝０
⇔（ｔ^2－２ｔ）ｘ－ｔｙ－ｔ^2＝０…☆
を実数ｔとしてまず解いてみよう。
＜解＞
ｔ≠０のとき、☆式はｔで割って、（ｔ－２）ｘ－ｙ－ｔ＝０…☆この式をｔについて整理すると、
ｔ（ｘ－１）－２ｘ－ｙ＝０
これは直線ｘ＝１，－ｙ＝２ｘの交点を通る回転曲線群である。
但し、直線ｘ＝１のときを除く。（理由わかるね？）
ｔ＝０のときも点（１、－２）のときを除けば成り立つ。
よって、答えは
「ｘ、ｙ平面上のすべての領域を直線ｘ＝１を除いて塗りつぶせばよい。」

＜考察＞この問題を作った人は「答えがあまりにもセンスが感じられない」と編集者から文句をいわれ、仕事を干されるてはたまらんと脅えてあわてて問題を作り変えた。だから最初から「ｔがすべての実数のとき」と書かなかったのでしょう。
なさけない話です。
「これは直線ｘ＝１，－ｙ＝２ｘの交点を通る回転曲線群である。」
と書きましたがこの交点を包絡点といいます。

ｘやｙの係数にどうしてもｔ^2やｔ^3や√（t^2＋１）などがついた場合はこのような解き方はできません。その場合、求める領域は直線がある曲線に接することを用いてその曲線を求め、ｘ＝f(ｔ)あるいはｙ＝g(t)で接することを利用し、領域を図示する。ある曲線のことを包絡線といい、さっきの包絡点の２次元版です。