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ベクトル

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  • 質問No.130949
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x+y+2=0,√3x-y-3=0,この二直線のなす角を求めよ。
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回答 (全6件)

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 38% (54/141)

ベクトル使わない方が簡単なんですが…。 グラフを考えましょう。 前者は傾き-1、すなわちx軸の正方向とのなす角は135度 後者は傾き√3、すなわちx軸の正方向とのなす角は60度 よってニ直線のなす角は(135-60ですね)75度。 ...続きを読む
ベクトル使わない方が簡単なんですが…。
グラフを考えましょう。
前者は傾き-1、すなわちx軸の正方向とのなす角は135度
後者は傾き√3、すなわちx軸の正方向とのなす角は60度
よってニ直線のなす角は(135-60ですね)75度。
お礼コメント
noname#759

なるほど!分かりやすいです!!どうもありがとうございました!
投稿日時 - 2001-09-06 18:26:49

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 47% (142/300)

回答します。 y=-x-2 …(1)   y=√3x-3 …(2) それぞれ、傾きは、 (1)はy軸から左へ45°傾いています。 (2)は、「1:2:√3」の三角形ができますので、 y軸から右へ30°傾いていることが判ります。 したがって、これらのなす角は75°です。 #う~む、あんまりアカデミックではないですね。 (^^;) ところで、こういう場で質問するときは、 問題だ ...続きを読む
回答します。
y=-x-2 …(1)  
y=√3x-3 …(2)
それぞれ、傾きは、
(1)はy軸から左へ45°傾いています。
(2)は、「1:2:√3」の三角形ができますので、
y軸から右へ30°傾いていることが判ります。
したがって、これらのなす角は75°です。
#う~む、あんまりアカデミックではないですね。 (^^;)

ところで、こういう場で質問するときは、
問題だけを書くのは回答してくれる人に失礼ですよ。
少なくとも「よろしくお願いします。」くらいは書かないとね。
お礼コメント
noname#759

ありがとうございました!それから今度から書き方に気をつけます!
投稿日時 - 2001-09-06 18:24:02
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 44% (65/145)

たしかにこれはベクトルで解くのはちょっといやですかね^^; もう他の人が答えられているので、あえてベクトルで・・・ とりあえず、二直線の法線ベクトルは、x、yの係数から   x+y+2=0 -> (1,1)  ・・・(1)  √3x-y-3=0 -> (√3,-1)  ・・・(2) で、これらのベクトルの成す角と二直線の成す角は当然同じです。 で・・・内積を取ろうとしても、ちょ ...続きを読む
たしかにこれはベクトルで解くのはちょっといやですかね^^;
もう他の人が答えられているので、あえてベクトルで・・・

とりあえず、二直線の法線ベクトルは、x、yの係数から

  x+y+2=0 -> (1,1)  ・・・(1)

 √3x-y-3=0 -> (√3,-1)  ・・・(2)

で、これらのベクトルの成す角と二直線の成す角は当然同じです。
で・・・内積を取ろうとしても、ちょっと複雑・・・

 COS<なす角>=[√3-1]/2√2  ・・・(*)

となりますから・・・
ただ、これを例えば、x軸方向のベクトル(1,0)とのなす角をそれぞれ計算すると、

 COS<(1)とx軸のなす角>=1/√2 ・・・>45°

 COS<(2)とx軸のなす角>=√3/2 ・・・>-30°(ベクトル(2)の向きに注意・・

よって、(1)と(2)のなす角は75°となります。

もしかして出題者は(*)を変形して、

(*)=(1/√2)[(√3/2)-(1/√2)]
  =COS45°[COS30°-sin30°]=COS(45°+30°)=COS75°

として欲しいのかな・・・
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 44% (65/145)

おっとミスが・・ (*)=(1/√2)[(√3/2)-(1/√2)]   =(1/√2)(√3/2)-(1/√2)(1/√2)=COS45°COS30°-sin45°sin30°=COS(45°+30°)=COS75° です。しかしこんなの慣れないと思いつきませんがね・・・ 普通は他の方が行っている方法が適していますね。
おっとミスが・・

(*)=(1/√2)[(√3/2)-(1/√2)]
  =(1/√2)(√3/2)-(1/√2)(1/√2)=COS45°COS30°-sin45°sin30°=COS(45°+30°)=COS75°

です。しかしこんなの慣れないと思いつきませんがね・・・
普通は他の方が行っている方法が適していますね。
  • 回答No.5
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

一般に、直線lと直線mのなす角θは、 直線lとx軸が作る角=θ’とし、{交点の右側(x軸の正方向)から反時計まわりに角度を測る} 直線mとx軸が作る角=θ”とすると、(同上) tanθ=|tan(θ’-θ”)|  (∵2直線はいろいろな位置や角度で交わるがすべてこの式で表現できる。自分で試してみるとよい。わからなければまた質問してね) =|tan(θ’)-tan(θ”)|/|1+tan(θ’) ...続きを読む
一般に、直線lと直線mのなす角θは、
直線lとx軸が作る角=θ’とし、{交点の右側(x軸の正方向)から反時計まわりに角度を測る}
直線mとx軸が作る角=θ”とすると、(同上)

tanθ=|tan(θ’-θ”)|  (∵2直線はいろいろな位置や角度で交わるがすべてこの式で表現できる。自分で試してみるとよい。わからなければまた質問してね)
=|tan(θ’)-tan(θ”)|/|1+tan(θ’)tan(θ”)|…☆ (∵加法定理)

また、直線lの傾きをa,直線mの傾きをbとすれば、
a=tan(θ)’,b=tan(θ”)である。(図を描けばすぐわかる。)
これを☆式に代入して

tanθ=|tan(θ’)-tan(θ”)|/|1+tan(θ’)tan(θ”)|
=|a-b|/|1+ab|である。…☆’

☆式と☆’式はどちらも便利なので覚えよう。問題によって使い分けることもあろうから。

さて問題を解こう。
x+y+2=0⇔y=-x-2…(1)
√3x-y-3=0⇔y=√3x-3…(2)
よって、直線(1)の傾き=-1=tan135°,直線(2)の傾き=√3=tan60°であるから、
tanθ=|tan135°-tan60°|/|1+tan135°+tan60°|
=|tan75°|=tan75°
⇔θ=75°(tan75°=tan255°より、θ=255°も満たすが、普通なす角といわれれば鋭角なのでそれに習った)

以上
  • 回答No.6
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

この問題は公式に当てはめればすぐに出来るなあ。うっかりして難しく回答してしまった。 tanθ=|tan(θ’-θ”)| に直接代入してやればいいんだ。 tanθ=|tan(135°-60°)|=|tan75°|=tan75° ⇔θ=75° 公式に頼りすぎて本質を見誤ってしまいました。NO.5は「さて問題を解こう~」は以下は無視してかまいません。
この問題は公式に当てはめればすぐに出来るなあ。うっかりして難しく回答してしまった。
tanθ=|tan(θ’-θ”)| に直接代入してやればいいんだ。

tanθ=|tan(135°-60°)|=|tan75°|=tan75°
⇔θ=75°
公式に頼りすぎて本質を見誤ってしまいました。NO.5は「さて問題を解こう~」は以下は無視してかまいません。
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