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ベクトルの問題です

球面Sと直線gの方程式が、それぞれ次のように与えられている。 x^2+y^2+z^2=25、(x-3)/2 = y-3 =z (1)Sの中心を通り、gと交わりその交角が60°となる直線の方程式を求めよ。 (2)直線gに垂直な平面によるSの切り口が面積7πの円となる時、 その円の中心の座標を求めよ。 解答: S;x^2+y^2+z^2=25 。。。(A) g:(x-3)/2 = y-3 = z。。。。(B) 求める直線lはsの中心Oとg上の点P(2t+3、t+3、t)を通る。よって、方向ベクトルがl→=(2t+3、t+3、t) (B)の方向ベクトルはm→=(2.1.1)、2直線のなす角が60°なので、方向ベクトルのなす角は60°、120° ∴2(2t+3)+1(t+3)+1t={√(2t+3)^2+(t+3)^2+t^2}・√6・(±1/2) 平方して整理すると、t^2+3t+2=0 ∴t=-1、-2 よって、l→=(1,2、-1)または、(-1,1,-2) ∴x=y/2=-z, -x=y=-z/2 質問です! 最初の方に、点P(2t+3、t+3、t)を通る。と書いてありますけど、これはどのようにして求めたのでしょうか??また、この点Pはなぜ現れたのですか??題意には記載されてないのですが。。 そのあと、方向ベクトルのなす角は60°と120°と書いてありますが、120°は必要ないと思いましたけど、 その後の、計算式∴2(2t+3)+1(t+3)~=√(2t+3)^2~ という式がありますけど、左辺と右辺ともにわかりませんでした、 120°と60°が関係してるのでしょうか?また、右辺の√が掛かってるのはなぜですか??しかも右辺は±1/2というものまで登場してるので、混乱してます>_< またこの式を平方して整理するとt^2+3t+2=0となってますが、 ためしにやってみましたけど、√(t^2+3t+3)・√6・±1/2とまでしかできませんでした>_< どうやっても計算できません!!>_< どなたか、教えてください、宜しくお願いします!!

質問者が選んだベストアンサー

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  • kkkk2222
  • ベストアンサー率42% (187/437)
回答No.3

ーーー その2 >120°は必要ない・・・   ちょっと、説明がし難いのですが、 <2直線のなす角>と<ふたつのvectorのなす角>は異なります。(厳密に言うと、この問題では結果的に同じですが、それはまた別の話になるので)今は異なるとします。<2直線のなす角>は60度とも120度とも見えます。結論を先に書くと、<本質>は別の所にあります。原点を通る直線は2本あるんです。点Pと点P’ 気が付きましたか?   気が付いていて、疑問に思っているのかもしれません。計算はvectorでします。方向vectorの向きは不明です。しかし、PとP’を考えると、ひとつは60度、もうひとつは120度ですね。その結果、後にtの値が2個でます。 >∴2(2t+3)+1(t+3)~=√(2t+3)^2~ ? >左辺と右辺ともに? >120°と60°が関係してるのでしょうか? >右辺の√が掛かってるのはなぜですか? >しかも右辺は±1/2と? >t^2+3t+2=0 ? 計算に移ります。二つのvectorの内積です。 vectorOPを p 方向vectorを d と表記します。内積の定義により p・d=|p||d|cos(60度) または p・d=|p||d|cos(120度)                      p=(2t+3、t+3、t)   d=(2、1、1) p・d=2(2t+3)+1(t+3)+1t=6t+9 |p|=√【[(2t+3)^2]+[(t+3)^2]+[t^2]】    √【6[t^2]+18t+18】 |d|=√6      よって 6t+9=√6*√【6[t^2]+18t+18】*(±1/2) 両辺自乗して (6t+9)^2=(3/2)【6[t^2]+18t+18】 2*3*3*【(2t+3)^2】=3*3*2*【[t^2]+3t+3】 【4(t^2)+12t+9】=【[t^2]+3t+3】 3(t^2)+9t+6=0 (t^2)+3t+2=0  と 出てきます。 ご連絡下されば補足します。 ーーーーーto be continuedーーーーー

nana070707
質問者

お礼

返事書いていただいてありがとうございました!! まず題意で問われている直線lに対しての方向ベクトルを探し その後は、二つの直線を利用して内積を使って求めるという問題でした。 こうやってみると、非常にシンプルに見えますが、はじめは真っ暗な洞窟をあるいてるようでした>_< 沢山返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました!!!頑張ります!!

その他の回答 (3)

  • kkkk2222
  • ベストアンサー率42% (187/437)
回答No.4

ーーー その3(一応最終原稿です) 今頃になって貴殿のHNの洒落に気が付きました。nana/なな/7/070707 (2)の質問の想定 >直線gに垂直な平面? >法線ベクトルはわかりましたが、そのあとは? >法線ベクトルだけで平面の方程式は出ますか? >原点を通る直線を法線ベクトルで表せば良いのでしょうか? >2x+y+z=Aまでわかりました。Aはどうやってでますか? >切り口の面積7πだから、切り口の円の半径が√7とありますが、切り口は本当に円になるのでしょうか? >原点を通る直線が平面2x+y+z=Aと交わる点が円の中心ですか? >(x、y、z)=k(2、1,1)とおいて、2x+y+z=Aに代入しても、kがでません? >円と平面の距離が√18とありますが何故ですか? >|2x+y+zーA|/√6に(0、0、0)を代入して|A|/√6=√18 >空間でも、距離の公式が成り立つんですか? >ヘッセの標準形って何ですか? >2x+y+z=6√3に(2k、k、k)を代入してk=√3ですが、円の中心は? >平面が2個あるのは何故ですか? 途中計算違う可能性あり、です。 正式に補足要求があれば回答させて頂きます。 SEE YOUーーーーー

  • kkkk2222
  • ベストアンサー率42% (187/437)
回答No.2

ーーーー 第5問題 07/03/27 13:32 ちょっとビックリしたのは、まだ一日しか経ってないのですね。やっと、今風の問題が出てきたので、回答者も付いているからと安心してたんですけど。詮索しますけど(普通は詮索しませんけど、って書くんですよね!) 教科書・参考書チャントもってますか?。10年前の問題集だけでは苦、苦しい。タダネ、受験生じゃないんだったらカマワナイです。あと、んんんんんんん書いていいのかな(モウ、カイタケド)・・・ 受験生?  じゃないと思うんです・・・。 >点P(2t+3、t+3、t)を通る、どのようにして求めた? >この点Pはなぜ現れたのですか? >題意には記載されてないのですが? www 直線の方程式の基本 方向vectord(directionの頭文字です。) 位置vectorpとして、動点P(p) 位置vectoraとして、定点A(a) 任意の実数t 直線の方程式のvector表示は vetorp=vectora+tvectorp 以下次の様に表示 p=a+td   これをベクトル表示と呼ぶ 例 p=(x、y、z) a=(3、4、5) d=(6、7、8)   即 (x、y、z)=(3、4、5)+t(6、7、8) x=3+6t y=4+7t z=5+8t  これらを媒介変数表示とよぶ   Am I a TextBook ? tを消去して (x-3)/6=(y-4)/7=(z-5)/8  座標表示と呼ぶ(これは嘘!!!)名前ないのです。座標表示でOKのはずです。 逆に これから定点A(a)、方向vectordを読み取る。 すべての形式を直線の方程式と呼ぶ 本問題では (x-3)/2 = y-3 =z を (x-3)/2=(y-3)/1=(z-0)/1=t と読む x=2t+3 y= t+3 z= t これが全ての始まりです。点P(x、y、z)です。 ーーーto be continued

  • 10ken16
  • ベストアンサー率27% (475/1721)
回答No.1

直線上の点をP(x,y,z)とおき、 その式を=tとして x,y,zについて解いたものです。 このときtを『媒介変数』と呼びます。 また、tの係数でつくられるベクトルを 直線の『方向ベクトル』といいます。 計算式は、ベクトルの内積を使ってます。 平面ベクトルの『ベクトル方程式』から 復習することを勧めます。

nana070707
質問者

お礼

返事書いていただいてどうもありがとうございました。 平面のベクトルで学んだ部分を再度読み直しました 三次元に入ってから、かなり混乱してますが、頑張ります>_< 本当にどうもありがとうございました!!!

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