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x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

宜しくお願い致します。 4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、  (*)をtで表すと? という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

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回答No.1

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1) のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に 『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが 中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。 そうすると (1) は a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2) のように変形できます。 ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。 (a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0 a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3) 更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから これを (3) に代入すれば a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4) ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する 2次方程式に変形できます。 ---------------------------------------------------------------- 実際の出題では、恐らく 4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて (a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。 (b) t に関する2次方程式を解け。 (c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。 となっていると思います。 上の変形を参考にやってみて下さい。

hhozumi
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その他の回答 (2)

  • rinri503
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回答No.3

与式において   x=0を代入しても成立しないから x≠0   よってx^2で割ると   x^2-4x+5-4/x+1/x^2=0    とできる  (x^2+1/x^2)-4(x+1/x)+5=0   (x+1/x)^2-2-4(x+1/x)+5=0   あとは自分で

hhozumi
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  • Piazzolla
  • ベストアンサー率44% (88/196)
回答No.2

x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0 x^2で割って、 x^2-4x+5-4/x+1/x^2=0 ここで、(x+1/x)^2=x^2+1/x^2-2なので、 x^2+1/x^2=t^2-2 したがって、 x^2-4x+5-4/x+1/x^2=0 (x+1/x)^2-2-4(x+1/x)+5=0 (x+1/x)^2-4(x+1/x)+3=0 以下、省略。

hhozumi
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