- ベストアンサー
ルジャンドル関数 g(t,x)≡1/√(1-2tx
ルジャンドル関数 g(t,x)≡1/√(1-2tx+t^2)=Σ(n=0→∞) Pn(x)t^nにおいて次の微分方程式 (1-x^2)∂g/∂x - (xt-1)∂g/∂t - xg =0 を用いて 次の漸化式 [(1-x^2)d/dx - (n+1)x]Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x) を証明する方法を教えて下さい！ (Pn(x)はルジャンドル多項式です) 大学の授業で取り扱ったのですがその日は交通遅延で授業に出られず、周りにノートを見せてくれる知り合いもいません。 どうかよろしくお願い致します！
- 4081339
- お礼率38% (50/130)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
gの定義は g=Σ(n=0→∞) Pn(x)t^n だから、与えられた微分方程式 (1-x^2)∂g/∂x - (xt-1)∂g/∂t - xg =0 に代入すると (1-x^2)Σ(n=0→∞) P'n(x)t^n - (xt-1)Σ(n=0→∞) nPn(x)t^(n-1) - xΣ(n=0→∞) Pn(x)t^n =0 (1-x^2)Σ(n=0→∞) P'n(x)t^n -xΣ(n=0→∞) nPn(x)t^n + Σ(n=0→∞) nPn(x)t^(n-1) - xΣ(n=0→∞) Pn(x)t^n =0 (1-x^2)Σ(n=0→∞) P'n(x)t^n -xΣ(n=0→∞) nPn(x)t^n + Σ(n=0→∞) (n+1)Pn+1(x)t^n - xΣ(n=0→∞) Pn(x)t^n =0 したがってt^nの係数だけを取り出すと (1-x^2) P'n(x) -xnPn(x) + (n+1)Pn+1(x) - x Pn(x) =0 (1-x^2) P'n(x) -x(n+1)Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x) [(1-x^2) d/dx -x(n+1)]Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x)
関連するQ&A
- ルジャンドルの母関数
ルジャンドルの母関数(1-2xt+t^2)^(-1/2) = ΣPn(x) t^n ）の公式を証明したいのですが分りません。具体的にどんな方法があるのか知っている方がおられましたら教えて下さい．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ルジャンドル多項式の漸化式の導出
ルジャンドル多項式P_n(x)が満たす漸化式 (n+1)P_n+1(x) - (2n+1)xP_n(x) + nP_n-1(x) = 0 の導出について質問させてください。 母関数の展開式を微分して係数比較という方法での導出はよく見かけるのですが、 『理論電磁気学』（砂川重信、紀伊國屋書店）の付録p.457に別の導出方法が載っていました。（画像参照） 画像の(B・27)はロドリゲスの公式P_n(x)=(2^n・n!)^(-1)・(d^n/dx^n)(x^2-1)^nのことで、 確かにこれを代入すると(B・34)は正しいとわかるのですが、 (B・34)と(B・28)＝ルジャンドルの微分方程式d/dx{(1-x^2)d/dxP_n(x)}+n(n+1)P_n(x)=0 から(B・35)一行目＝最初に書いた漸化式が証明される。という点が分かりません。 (B・34)と(B・28)から(B・35)一行目を導く途中式をどなたか教えて頂けますでしょうか？よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数値積分の問題（ガウス・ルジャンドルの公式）
質問させていただきます 次の積分の数値積分を考える I=∫[1→3] x/(x^2＋1)dx 積分値の近似値をガウス・ルジャンドルの２点公式を用いてあらわせ ただし２次のルジャンドル多項式の零点を t0, t1=-t0 として t0を用いてあらわせ どんな風にとけばいいのかさっぱり分かりません あと数値解析の参考書でお勧めの一冊があれば教えていただけませんか？ 今使ってる参考書難しいので・・・
- 締切済み
- 数学・算数
- 熱力学のルジャンドル変換について
変数（T,X）に対する熱力学関数はF（T,M）からルジャンドル変化によってG(T,X)＝F－(ｄF/dm)M ∵) 右辺の( )内はTを固定して偏微分を行っています。 Mは常磁性体での磁化、Xは磁場強度です。 問題集で急に変換してギブズの自由エネルギーGが出たと思ったらヘルムホルツFだけで表されています。 質問内容はルジャンドル変換でFを用いてGを表していますが、Gとなる根拠が良くわかりません。計算方法もわかりません。これは暗記なのでしょうか？その場で導出可能なものなのでしょうか？わかる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- g(x,t)=(1+x+t*x)^(-1/2)の近似
f(x)=(1+x)^n はxが微小なとき f(x)=1+nxと近似できますが、 g(x,t)=(1+x+t*x)^(-1/2)の近似はどうやればいいのでしょうか。 単純にg(x,t)=1+(-1/2)*(x+t*x)でよいのでしょうか。 なんか、t*xのところでもう一回微分がありそうな気がするのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式 x'=xt/√((x^2)+1)
次の微分方程式を解け x'=xt/√((x^2)+1) という問題で、tとそれ以外に分けて、tで積分、という手順だと思ってやったのですが、その積分が終わってからどうすればいいのかがわかりません。どなたか教えていただけませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- t=ax+b と x=(t - b)/a について
t = ax + b ----((1)) (1)を変形して x = (t - b)/a -----((2)) (2)を(1)に代入して t = ax + b = a * (t - b)/a + b = t ------((3)) となるのは当然のような気はしますが 何か不思議な感じもします。 たとえば t = f(x) = (xについての任意の多項式) ------((1)’) (1)’を変形して x = g(t) = ((1)’に対応するtについての多項式) --------((2)’) (2)’を(1)’に代入して t = f(x) = f(g(t)) = t ------((3)’) となることは証明できるのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
救世主です！ありがとうございます！