• ベストアンサー

g(x,t)=(1+x+t*x)^(-1/2)の近似

f(x)=(1+x)^n はxが微小なとき f(x)=1+nxと近似できますが、 g(x,t)=(1+x+t*x)^(-1/2)の近似はどうやればいいのでしょうか。 単純にg(x,t)=1+(-1/2)*(x+t*x)でよいのでしょうか。 なんか、t*xのところでもう一回微分がありそうな気がするのですが。

  • daipot
  • お礼率74% (185/247)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • eiji2003
  • ベストアンサー率22% (46/206)
回答No.1

実際テイラー展開をしてみてください。 Y=x+t*xとおくと g(x,t)=g(Y)=(1+Y)^(-1/2) 近似すると g(Y)=g(0)+g'(0)*Y ・・(1) g'(Y)=d{g(Y)}/dx =(-1/2)*{(1+Y)^(-3/2)}*Y' =(-1/2)*{(1+Y)^(-3/2)}*(1+t) よって これを使って(1)を変形すると、 g(Y)=g(x,t)=1+(-1/2)*(1+t)*(x+t*x)

daipot
質問者

お礼

ありがとうございます。おかげでわかりました。

関連するQ&A

  • g(t,x)の積分

    f(t,x) = f(t), g(t,x) = 1, a=0, b=xのとき g(t,x)をn回積分したものは (t-x)^n / n! ここで"^n"はn乗, n!はnの階乗を表します。 ---- という解説があるのですが、g(t,x)=1を積分していくと g(t,x)の1回積分: t g(t,x)の2回積分: t^2/2 g(t,x)の3回積分: t^3/(1*2*3) g(t,x)のn回積分: t^n/n! となり、-xの部分が出てこないかと思うのですが、間違っているのでしょうか?

  • 一変数テイラー展開の一般項

    お気に入り f(x)=log(x+√(1+x^2))とするとき、x=0におけるテイラー展開をしました。f(x)を微分していくと f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2) f''(x)=-x/(x^2+1)^(3/2) f'''(x)=(2x^2-1)/(x^2+1)^(5/2) f''''(x)=-3(2x^3+3x)/(x^2+1)^(7/2) f'''''(x)=3(8x^4-24x^2+3)/(x^2+1)^(9/2) f''''''(x)=-15x(8x^4-40^2+15)/(x^2+1)^(11/2) f'''''''(x)=45(16x^6-120x^4+90x^2-5)/(x^2+1)^(13/2) となりました。これをマクローリン展開の公式に代入すると f(x)=x-(x^3)/6+(3x^5)/40-(5x^7)/112…剰余項 となりました。 一般項を求めたいのですが、 f'(x)=1/(x^2+1)^(1/2)のときx^2=tと置き、 g(t)=(t+1)^(-1/2)としました。 g(t)についてn回微分し g(n回微分)(t)=(‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n)*(1+t)^-((2n-1)/2) となりました。 g(t)についてt=0の時テイラー展開したところ g(t)=1-t/2+3t^2/8-5t^3/16+…+((‐1)^n*(((2n-1)!!)/2^n))/n!+Rt となりました。 f'(x)=g(x^2)なのでg(t)のテイラー近似にx^2を代入したものがf'(x)のテイラー近似になることはわかりました。 しかしf(x)とf'(x)のテイラー近似は 数式的にはf(x)=∫f'(x)dxになると思いますが、 それには証明が必要になると言われました。また、gとfの関係をはっきりさせ、g(t)のテイラー展開からf'(x)のテイラー展開を求め、 それがf'(x)のテイラー展開と一致することからf'(0)、f''(0)…をもとめ、それを用いてf(x)のテイラー展開を書けばよいらしいのですが、 どのようなステップを踏めば良いか分かりません。 お力をお貸しください。

  • フーリエ級数の係数決定方法(近似精神)

    こんにちは。ちょっと専門的なのですがフーリエ級数についてです。 まだ手をつけたばかりですが、微積分関係の知識は高卒程度までは あります。 ある本に、フーリエ級数とは周期関数f(x)を(拡張すると周期関数でなくてもよい)三角関数で近似するということであり、式で表すと f(x)≒g(x)=A_0/2+Σ[n=1~N]{A_n*Cos(x)+B_n*Sin(x)} ただし(アンダーバー後の数字は添え字を表します) となる。A_nとB_nの決定には、 ∫[-π/2~π/2]{f(x)ーg(x)}^2 dx が極小になるように選ぶ。と書いてありました。 もちろん私はA_nとB_nがどう表わされるかは知っているのですが、 普通f(x)にCos(nx)やSin(nx)を掛けて周期で積分しますよね。 この「∫[-π/2~π/2]{f(x)ーg(x)}^2 dxが極小になるように選ぶ」 とは一体どういうことなのでしょうか。 極小になるように選ぶといってもどう選ぶのですか。微分するのでしょうか。 ちょっと難しいかもしれないのですが、分かる方、計算方法等を 示していただけませんか。ずっと考えていてもやもやしていて仕方 ないのです。お願い致します。

  • この1次近似式の問題の求め方を教えてください。

    (1)g(Arctanx+logy)の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい (2)f(cosx+Arcsiny)を(x,y)=(a,b)のまわりで1次近似しなさい (3)Arctan(f(x,y))を(x,y)=(a,b)のまわりでi次近似しなさい (4)Arcsin(g(x,y,z))を(x,y,z)=(a,b,c)のまわりで1次近似しなさい (5)f(x,y,z)の(x,y,z)=(a,b,c)のまわりでの1次近似式を書きなさい。 (6)e^(xsiny)の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式で書きなさい。 (7)x^2×y^3×z^4の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式で書きなさい xはエックス、×はかけるの記号です。 わからない問題や、解いてみたけど自信がない問題なんで、式と答えを教えてください。 お願いいたします。 もちろん、全部でなくわかるやつだけでも全然かまいません。 お願いします。

  • (γt)^x を x について微分

    f(x;t) = (γt)^x を、x について微分したいと思っています。 但し、γ は x の関数です。 答えは、γ' = dγ/dx として、 f(x;t)' = (γt)^c [ ln(γt) + x*γ'/γ ] となるようですが、どのように導くのか分からず、困っています。 答えの導き方を教えて頂けると嬉しく思います。

  • 近似の仕方

    近似の仕方が分かりません。xが十分に小さいとき、xの2次までで近似をしたいです。 y=a{1+ x^2/(n-A+√(A^2-x2^2))}^(-1/2) というしきです。 分かりにくいですが、分子がx^2で/から後ろが分母。 最初のaを除いて(1+分数)を-1/2乗です。 テイラー展開をしようとしたのですが、xが分母分子にあり微分がごちゃごちゃになって困りました。 近似の仕方で(1+x)^n≒1+nxみたいに簡単にはいかないのでしょうか? 一応物理の問題に出てきて途中の近似をしたく、 数学の証明みたいにεとかは使わなくて大丈夫です。 どうやら 色々調べたところ2つの少し違う答えが出てきました。これも困っています。 が、私が知りたいのは答えよりもやり方です。やり方は省略されていて詳しく出てきません。 どなたかやり方を教えてください

  • ルジャンドル関数 g(t,x)≡1/√(1-2tx

    ルジャンドル関数 g(t,x)≡1/√(1-2tx+t^2)=Σ(n=0→∞) Pn(x)t^nにおいて次の微分方程式 (1-x^2)∂g/∂x - (xt-1)∂g/∂t - xg =0 を用いて 次の漸化式 [(1-x^2)d/dx - (n+1)x]Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x) を証明する方法を教えて下さい! (Pn(x)はルジャンドル多項式です) 大学の授業で取り扱ったのですがその日は交通遅延で授業に出られず、周りにノートを見せてくれる知り合いもいません。 どうかよろしくお願い致します!

  • テイラー近似式の求め方について

    大学の授業でテイラー近似式の求め方を習ったときの板書の記述に、 「関数f(x)を2次関数P(x)で近似するとき、接点のx座標を x = a とすると、P(a) = f(a) であるから  P(x) = f(a) + (x-a)(xの一次式)  が成り立つ」 というような部分があったのですが、どうしてこのような式が導き出せるのでしょうか? また、その授業ではこの後、(xの一次式)をbx+cと置いてからP(x)の式を微分していき、f(x)とP(x)の接点での傾きや2階微分も一致していることから、bとcをaやf'(a)やf''(a)を用いて表して、それをP(x)の式に代入して2次関数による近似式を導いていました。 元の関数と近似式の、接点だけでなく、傾きや2階微分も一致する理由もできれば教えていただきたいです。

  • 近似式の公式・なぜxでなく|x|なのか?

    近似式の公式が |x|が十分に小さいとき f(x)≒f(0)+f´(0)x とありました。なぜ|x|が十分に小さいときでないといけないのでしょうか?    0.0000001も-0.0000001も同じくらい小さいのだから  |x|でなく「xが十分に小さいとき」でもいいのではないでしょうか?

  • 整式f(x)は、すべての実数tに対して、

    整式f(x)は、すべての実数tに対して、 (t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1 を満たすとする。このとき、整式f(x)の次数nを求めよ。 f(x)=ax^n + bx^(n-1)・・・・・とし(a≠0)、 g(x)=xf(x)とおくと、 g(x)=ax^(n+1)+bx^n +・・・・・であり、与えられた等式は、 g(t+1)-g(t-1)=t^2+t+1・・・・・(1) g(t+1)-g(t-1) =a{(t+1)^(n+1)-(t-1)^(n+1)}+b{(t+1)^n-(t-1)^n}+【(n-1次以下)】 =a{2(n+1)t^n+(n-1次以下)}+b{2nt^(n-1) +(n-2次以下)} +(n-1次以下) =【2a(n+1)t^n +(n-1次以下)】 よって、(1)の両辺の最高次の項の次数を比較して、 n=2 ※ ax^(n+1)は、axのn+1乗の意味です。 教えてもらいたいのは、【 】で囲った2ヶ所です。 1つ目の【 】の(n-1次以下)というのは、どこから、なぜ、出てきたのか、と疑問に思いました。 そして、2つ目の【 】は、どのような計算でそのような式になったのか、これも疑問に思いました。 教えてください。よろしくお願いします。