近似式の公式・なぜxでなく|x|なのか？

質問

近似式の公式が
|x|が十分に小さいとき f(x)≒f(0)+f´(0)x
とありました。なぜ|x|が十分に小さいときでないといけないのでしょうか？

　0.0000001も-0.0000001も同じくらい小さいのだから
　|x|でなく「xが十分に小さいとき」でもいいのではないでしょうか？

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

「 |x| が充分小さいとき」というのは」、「x = 0 の近傍において」という意味であって、「ｘが小さいとき」とは意味が全くことなります。

多分、質問者さんは、|ｘ| が「小さい」という表現でちょっと混乱しちゃっただけでしょう。「|ｘ|が充分小さい」は「ｘが０近傍」と同意ですが、単に「ｘが充分小さい」と言ってしまうと、ｘの値は－∞を考慮したものになってしまいますので、その絶対値|ｘ|は逆に非常に大きな値の場合を想定することになります。暗黙の了解で・・・は少々乱暴に過ぎるでしょう。

ちなみに、近似式の公式は、
x = a の近傍において（即ち |x-a| が充分小さいとき）
f(x)≒ f(a) + f '(a) (x - a)
というように f(x) の値を線形近似できるということであって、微分可能であることは勿論のことですが、x = a の近傍でしか成立しないことが重要です。質問者さんの例では、a = 0 の場合の式を挙げられているわけで、単に「x が小さい」ではなくて、x が x = 0 の近傍において(x=0 との距離が充分小さい）という意味で |x-0| ( = |x| ) が充分小さい、ということが重要となりますね。そういう意味を重視すると言う点において、絶対値の記号を外そうとするのは、あまり良い試みではないと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞「 |x| が充分小さいとき」というのは」、「x = 0 の近傍において」という意味であって、「ｘが小さいとき」とは意味が全くことなります。

|x|はx=0の傍らという意味ですか・・・。言われてみればそうですよね。xが小さいだったら、何に対してかわかりませんし負の数を想像してしまう人もいる(私は数の大きさが小さいほうだと思いましたが)。絶対値記号をつけることによってx=0を基準にしており、さらにx=0からの距離について小さい大きいと言っている、この公式はそれを暗示していたということですね。ようやく絶対値記号の理由がわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

tono-todo

あなたまじめに質問してます。

絶対値が小さいから・・であってそれ以上の説明はありません。

-100は0.01より小さいです。
-10000はもっと小さいです。
-1000000はもっともっと小さいです。

これが回答

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞絶対値が小さいから・・であってそれ以上の説明はありません。
それが難しく思われるのです。

回答No.2

sanori

こんにちは。

たとえば、
「ｘが１より十分小さいとき、（１＋ｘ）^n　≒　１＋ｎｘ」
とか
（同じことですが）
「ｘ≪１　のとき、（１＋ｘ）^n　≒　１＋ｎｘ」
というような書き方はします。
このようなとき、ｘが絶対値が非常に大きい負の数を指すものではない、という暗黙の了解があるわけです。

ですから、
「なぜ|x|が十分に小さいときでないといけないのでしょうか？」
という疑問を持つことは、もっともだと思います。

しかし、まー、
「｜ｘ｜が十分小さい」と書いておけば紛れがないわけで、
この書き方がまずいと主張する意味はないとも思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞このようなとき、ｘが絶対値が非常に大きい負の数を指すものではない、という暗黙の了解があるわけです。

ここらへんは結構、数学らしくなくアバウトですよね。もともと「十分小さいとき」というのも人によって違いますからね。

＞「｜ｘ｜が十分小さい」と書いておけば紛れがないわけで、
たしかに教科書にもこう書いてあるので、これに従ったほうがよいですね。

回答No.1

himajin100000

-153 < -0.0000001

-153は-0.0000001よりも小さいです

お礼

ご回答ありがとうございます。
基準が違えば、小さい、大きいの言い方も変わるということでしょうか？