微分方程式 x'=xt/√((x^2)+1)

質問

次の微分方程式を解け

x'=xt/√((x^2)+1)

という問題で、tとそれ以外に分けて、tで積分、という手順だと思ってやったのですが、その積分が終わってからどうすればいいのかがわかりません。どなたか教えていただけませんでしょうか？

回答No.4

inara1 · ベストアンサー

ANo.1 です。
arctanh(a) = (1/2)*ln{ ( 1 + a )/( 1 - a ) } なので
　　　arctanh{ 1/ √( 1 + x^2 ) } =(1/2)*ln[ { √( 1 + x^2 ) + 1 }/{ √( 1 + x^2 ) - 1 } ]
となります。arctanh(a) の定義域は -1≦ a ≦ 1 ですが、0 < 1/ √( 1 + x^2 ) ≦ 1 なので、arctanh{ 1/ √( 1 + x^2 ) } の定義域は -∞ < x < ∞ になります。

したがって、問題の微分方程式の解（陰関数）は
　　　( t^2 )/2 - √( 1 + x^2 ) + (1/2)*ln[ { √( 1 + x^2 ) + 1 }/{ √( 1 + x^2 ) - 1 } ] + C = 0　（Cは定数）
となります。このときの x の範囲は -∞ < x < ∞ になります。

これを t について解けば
　　　t = ±2*√[ √( 1 + x^2 ) - (1/2)*ln[ { √( 1 + x^2 ) + 1 }/{ √( 1 + x^2 ) - 1 } ] - C ] --- (1)
となるので、ある t の値のときの x の値をいくらでも精度良く計算できます（数値計算しなければなりませんが）。式(1)のグラフは添付図のようになります。x は t 軸に対して対称になりますが、x < 0 の解が物理的に意味がないのなら、式(1)を解くときに x > 0 だけを計算すればいいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

inara1

間違いがありました。
【誤】　t = ±2*√[ √( 1 + x^2 ) - (1/2)*ln[ { √( 1 + x^2 ) + 1 }/{ √( 1 + x^2 ) - 1 } ] - C ] --- (1)
【正】　t = ±√(2)*√[ √( 1 + x^2 ) - (1/2)*ln[ { √( 1 + x^2 ) + 1 }/{ √( 1 + x^2 ) - 1 } ] - C ] --- (1)

お礼

図まで出していただき、わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.3

drmuraberg

前の質問も同じ様でしたので、物理か物理化学で微分方程式を立て、解いた結果の
処理を工夫して居られるものと推察いたします。

No.1の回答にも有るように複雑な陰関数なので、残念ながら
x(t)=....の形には書けません。

便法ですが、t=f(x)の簡単な形にはなりますので、次の方法があります。
物理的または化学的な条件から、xの範囲が絞れる場合は、xo+Δxの値を逐次代入して
tの値を求めます。
x値とt値の表から、X(t)～t プロットを行い、これを多項式近似等でフィットします。

結果を次の様にまとめることができます。
○×△の微分方程式　　dx/dt=xt/√((x^2)+1) を解き,
解t=f(x)　を得た。
これをxの範囲xo～xn　で数値計算し、その結果を基に
次の近似式
x(t)=ΣAi*t^i を得た。(i=0～n)

t=f(x)に対数が入って来ませんか？　そうならばxの範囲に注意してください。

数学の問題なら、t=f(x)の所で終了です。

お礼

数学の問題なので、t=f(x)までで良いんですね。ありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

変数分離で∫{√(x^2+1)}/x・dxを解けばよい。もう一辺は簡単
変数変換y=√(x^2+1)で
∫{√(x^2+1)}/x・dx=∫{1+(1/2)(1/(y-1)-1/(y+1))}dx
=√(x^2+1)+log{(√(x^2+1)-1)/|x|}

結論は色々な形にかけます。

お礼

ありがとうございます。自分が知りたかったのはそこからの計算なのですが・・・・
ｘ＝の形に直したいのですが、わからなかったです

回答No.1

inara1

x は t の関数だと思いますが、これを数式処理ソフトで解いてみると、解は x = の形では表わせず、陰関数としての解は
　　　( t^2 )/2 - √( 1 + x^2 ) + arctanh{ 1/ √( 1 + x^2 ) } + C = 0　（Cは定数）
となりました（arctanh は tanh の逆関数）。したがって t = という逆関数で表せば解析解が得られます。これを手がかりとして、他の回答者からの解法の提示があるかもしれません。

お礼

ありがとうございました。ｘ＝では表せないのですか・・・・残念です