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波動方程式の解について
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- abyssinian
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質問の微方は、光ファイバなどの反射の式のようだから、符合は普通、 ∂2Hz/∂x2 + ∂2Hz/∂y2 + (ω^2/C^2)Hz = 0 になると思うんだけど。Cは光速ね。この式になる前の段階(rotHの成分の式)に代入するときの、符合をチェックしてみて。 微方の解は一般にexpの形になるのだから、 入射波も H=Ho exp(jωt-jkz)と指数関数で表すのが普通です。指数関数は微分しても形が変わらないから扱いやすい。またexp(jθ)=cosθ+jsinθだから、サインコサインで書いたのと同じです。君が探した微方の解法もこの形に書けると思います。 解のexp(…) のカッコの波数の式は、微方の解法には関係しないので、僕は立ち入りません。 偏微分のdはδとは違います、∂をコピペして漢字登録すべきです。僕は「デル」の読みで∂や∂/∂を登録してあります。∂はアルファベットdの書体の一種です。 (体調の都合で一週間レスできず失礼しました。)
- abyssinian
- ベストアンサー率46% (53/114)
それは2階だけ考えても駄目だよ。 1階の微方から積み上げなければ無理。 dx/dt+ax=0 …(1) を変数分離して積分した、 dx/x=-adt log(x)=-at+C x=ε(-at+C) と相似な式 x=ε(λt) …(2) は全て(1)の解になるのは基本だよね。 (2)の微分 dx/dt=λε(λt)、d2x/dt2=λ^2ε(λt) を2階微方に代入すると d2x/dt2+adx/dt+b=0 …(3) (λ^2+aλ+b)ε(λt)=0 となる。 カッコ内の2次方程式を (λ-A)(λ-B)=0 の形に書けばA,Bが解である。解の公式より λ1=(-a+√(a^2-4b))/2 λ2=(-a-√(a^2-4b))/2 よって x1=ε(λ1t) x2=ε(λ2t) これが2階微方の解です。 ここから先は、僕が答まで書いてしまうと削除になるので、君の考えを補足に書いてください。
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補足
なるほど、つまり変数分離したときに x=x1+x2 y=y1+y2 が得られれば良いわけですね。 そして、 d2x/dt2+aX=0 d2y/dt2+bY=0 で √a+b=k1となるから 答えが導けるんですね。