原始多項式について

質問

一意分解環Aとその多項式環A[x]∋f(x)について、次の(1), (2)は同値であることを証明したいのですが、
(1)f(x)は原始多項式である
(2)任意の素元p∈Aに対して、f(x)をpを法として考えた多項式f'(x)∈(A/(p))[x]は零でない

(2)のf(x)をpを法として考えた多項式とは
a0, b0, …, an, bn∈Aを用いて
f'(x)=(a0/pb0)x^n+…+(an-1/pbn-1)x+(an/pbn)
と表せる事(だと思う、、)で、
原始多項式とは
f(x)=a0x^n+…+an-1x+anについて、a0, …,anの最大公約元が可逆元であることなので、

(2)⇒(1)はf'(x)=(a0/pb0)x^n+…+(an-1/pbn-1)x+(an/pbn)が零でなければ、a0, …,anの最大公約元が可逆元となるように示して行けば良いと思うのですが
さっぱり分かりません。
(1)⇔(2)の証明をご教授頂けると助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

はい、(2)->(1) （つまり(1)の否定 -> (2)の否定）はそれでいいです。

回答No.1

tmppassenger

うーん....
> (a0/pb0)
と書いてありますが、Aは一意分解環であって、体であるとは書いてないので、一般に元 a[0] を元 p*b[0]で「除する」という事が出来るとは限りませんね...

そうでなくて、例えば整数（有理整数環）の世界でも、例えば5と8は3を法として等しい、とかいうことを考えた通り、要は「余り」のような事を考える。環の場合はこれは「『イデアル』による剰余環」を考えることに相当する。
つまり、今自然な準同型π: A→A/ pA、つまりπ(a) = a+pA （pAはpによって生成されるイデアル）を考えた時、f(x) = a[0] x^n + a[1] x^(n-1) + .... に対して、f'(x) = (π(a[0]) x^n + (π(a[1]) x^(n+1) + ... ∈ ( A/pA)[x] と定義する、という事を言っている。具体的な例を言うと、Aを有理整数環（これは一意分解環）、pをとある素数（これは有理整数環の素元）としたとき、f(x)は有理整数係数の1変数多項式であるのに対し、f'(x)は f(x)の各項の係数について、全て「pで割った余り」を考える、と言うこと。

で、証明は対偶を考えた方が良い。つまり、f(x)は原始多項式で『ない』とはどういう「定義」かというと、これはf(x)の各項の係数の最大公約数が（0でも）可逆元でもない、ということで、その最大公約数をMとすると、Aは一意分解環なので、Mは素元分解できる。Mは（0でも）可逆元でもないので、Mを割り切る素元pがある。当然、f(x)の各項の係数はこのpで割り切れる。

つまり、
f(x)は原始多項式で『ない』⇒ f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する。
だけど、逆も明らかなので、結局
f(x)は原始多項式で『ない』<=> f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する。

で、後は「 f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する」時、その素元pについて、各項の係数 a[ i ] に対し、先程の準同型πで移したものがどうなるかを考えよ。
逆は、剰余環 A/ pA における零元とはどういうものだったかを考えよ。

一度考えて、分からないところを補足に下さい。

補足

ご回答ありがとうございます！
剰余環を失念してました。最後、「 f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する」時ですが、
各項の係数 a[ i ] について、b[ i ]∈Aを取れば
a[ i ] =pb[ i ]でpb[ i ]∈pAなので
π(a[ i ] ) =π(pb[ i ] )=pb[ i ] +pA =pAであり、
f'(x) = (π(a[0]) x^n + (π(a[1]) x^(n-1) + ... +π(a[n])
=pAx^n+pAx^n-1+…+pA=0
(pAはA/ pAの零元 )
よって対偶から(2)⇒(1)が示される

という感じで大丈夫ですか？(冗長かと思いますが理解のためお許し下さい💧)
大丈夫でしたら(1)⇒(2)も示せそうです！