原始多項式について

質問

画像の問題、証明の中で、d=GCD(a0,…,an)、ai=dbi
(b0,…,bn∈A)、g(x)=b0x^n＋…＋bnとおけばg(x)は原始多項式…とありますが、なぜg(x)が原始多項式になるかが分かりません。
dが最大公約元と言っても他にbiで可逆でない公約元があるかもしれないですし、、
何か見落としている点があるかもなので分かる方ご教授頂けますと幸いです。
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

> k∈Aを用いてd=dekと書ける。一意分解環Aは整域なのでd(1-ek)=0でek=1となるがeが可逆元で無いことに矛盾する。

はい、その回答でよいですね。

お礼

ありがとうございました！
また、分からないところ出たらお助けください…m(_ _)m

回答No.2

tmppassenger

取り敢えず、a[0], a[1], a[2], ... , a[n] の「最大公約元」dが取れるってことはいいですか？
（ここでいう最大公約元というのは、d|a[i] (i = 0, 1, 2, ..., n)を満たし、且つ e|a[i] (i = 0, 1, 2, ..., n)なら、e|dとなる、という意味）（これは一意分解環だから最大公約元があることが証明出来る。証明は書いてあるか、それか練習問題になっているかになっているはず）

で、a[0], a[1], a[2], ..., a[n] の最大公約数dを取り、a[i] = d*b[i] でb[i]を定義した時、問題は更に b[0], b[1], ..., b[n] の最大公約元が可逆元にしかならないことを証明せよ、ということです。なので可逆元でない、として矛盾を導いてください。すこし悩みましょう。

ヒント：仮にb[0], b[1], ..., b[n]の最大公約元eが可逆元でないとすると、明らかに de | a[i] (i = 0, 1, 2, ..., n) となるが、『dはa[0], a[1], a[2], ... , a[n] の「最大公約元」』なのだから、（最大公約元の定義をもう一度確認せよ）、de | dでなければならない。ここから矛盾を導け。

（一意分解環は整域ですよ）

お礼

ご回答ありがとうございます！分かりやすくて助かりました！公約元の意味、定義の理解が甘かったようです
一応、理解したよという意味で証明最後のところ記述します。
b[0], b[1], ..., b[n]の最大公約元eを可逆元でないとするとdeもa[0], a[1], a[2], ... , a[n] の公約元になる(ここの視点が抜けてました…)
dはa[0], a[1], a[2], ... , a[n] の「最大公約元」なのでk∈Aを用いてd=dekと書ける。一意分解環Aは聖域なのでd(1-ek)=0でek=1となるがeが可逆元で無いことに矛盾する。 QED

回答No.1

tmppassenger

> 他にbiで可逆でない公約元があるかもしれないですし、、

そうならないことを証明してください

補足

dが可逆元(つまりf(x)∈A[x]が原始多項式)なら他に公約元があってもそれはdの約元だから可逆元である、という事は分かるのですが、
dが可逆元でない時は他に可逆でない公約元が無いことってどうやって示せば良いのでしょうか？

一瞬、有限個のa0,…,anで可逆で無い公約元の個数は有限であると示せれば公約元の取り方でg(x)を原始多項式と"できる"というのが思い浮かんだのですが今回の問題の主旨とはズレますね…😓