多項式の互いに素である証明方法とは？
- 多項式の互いに素であることを証明する方法について説明します。
- 具体的な例として、f(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24とg(x)=x^3-2x^2-5x+6の二つの多項式について考えます。
- これらの多項式の最大公約数を求める手順を説明します。結果として、この二つの多項式は互いに素であることが証明されます。
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多項式が互いに素であると証明したいのですが…
多項式が互いに素であると証明したいのですが… f(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24 g(x)=x^3-2x^2-5x+6 gcd(x^4-2x^3-13x^2+14x+24 , x^3-2x^2-5x+6) 左式をｘ倍して右式から引く gcd(-8x^2-8x+24 , x^3-2x^2-5x+6) 左式を8で除する gcd(-x^2-x+3 , x^3-2x^2-5x+6) 左式をｘ倍して右式に足す gcd(-x^2-x+3 , -3x^2-2x+6) 左式を3倍して右式から引く gcd(-x^2-x+3 , x-3) 右式をx倍して左式に足す gcd(-4x+3 , x-3) 右式を4倍して左式に足す gcd(-9 , x-3) 右式を3倍して左式に引く gcd(-3x , x-3) 左式を-3で除する gcd(x , x-3) 左式を右式から引く gcd(x , -3) 右式を1/3x倍して左式に足す gcd(0 , -3) １次以上の公約多項式がないので互いに素？ 行き詰りました…そもそも、公約多項式の求め方が間違っている気がします…orz
- izayoi168
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＞ gcdだかユークリッドだかは、あくまで自己の検算のために用いるものであって それは、ちょっと問題のある考え方です。 一意分解環上であっても、素元分解を実行することは、大変困難な場合がある… むしろ、困難な場合が少なくない… ことは、代数学の常識です。 それに比べ、ユークリッド互除法は、ユークリッド環上で常に実行でき、 有限ステップで確実に gcd を求められます。互除法のほうが、基本的なのです。 勘に頼って因数分解をする解答は、高校数学や大学入試では通用しても、 「ラッキーで答えが見つかったに過ぎない」感が拭えません。 ところで、質問文中で行われている互除法の計算ですが、 #2 では「合っています」と書いてしまいましたが、よく見ると、 一部の係数に計算間違いが含まれているようです。 それこそ、「ラッキーで答えが見つかったに過ぎない」のかもしれません。 修正してみると… x^4-2x^3-13x^2+14x+24 と x^3-2x^2-5x+6 右式を x 倍して左式から引く -8x^2+8x+24 と x^3-2x^2-5x+6 左式を 8 で除する ← -8x^2-8x+24 でなく -x^2+x+3 と x^3-2x^2-5x+6 左式を x 倍して右式に足す -x^2+x+3 と -x^2-2x+6 左式を右式から引く -x^2+x+3 と -3x+3 右式を -3 で除する -x^2+x+3 と x-1 右式を x 倍して左式に足す 3 と -x+1 右式を (x-1)/3 倍して左式に足す 3 と 0 ここで 0 が現われたので、一段前の除数 3 が gcd とわかる
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- imasokari
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#3です 例 396と455が互いに素であることを示せ 396=2^2*3^2*11 455=5*7*13 ∴互いに素 ↑ これと同じことなのでは？ gcdだかユークリッドだかは、あくまで自己の検算のために用いるものであって、こんなことをまともに答案に書いても点数貰えないと思います。 -------------------- 因数分解のコツは、xに適当に数字を入れてやります。 そこでゼロになれば、割り算です。 例 f(x)=x^3+3x^2-5x-7 の場合、 f(1)=1+3-5-7=-8…ハズレ f(2)=8+12-10-7=3…ハズレ f(3)=27+27-15-7=32…ハズレ ↓ 「このまま増やしてもゼロから遠退いていきそう…なので減らしていこう」 ↓ f(-1)=-1+3+5-7=0…アタリ ↓ f(-1)=0より f(x)=(x+1)g(x) であるから、f(x)÷(x+1)をして (x^3+3x^2-5x-7)/(x+1) これを計算すると x^2+2x-7 すなわち f(x)=(x+1)(x^2+2x-7) x^2+2x-7は2次式であるから解の公式より (x-1-2*2^(1/2))(x-1+2*2^(1/2)) ∴ f(x)=(x-1-2*2^(1/2))(x+1)(x-1+2*2^(1/2)) ↓ という感じです。
お礼
有難うございます。因数分解というよりはユークリッドの設問でしたので、私の説明が足りませんでした。
- imasokari
- ベストアンサー率30% (25/81)
f(x)=(x-4)(x-2)(x+1)(x+3) g(x)=(x-3)(x-1)(x+2) ∴互いに素
- alice_38
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合っています。 gcd(0, -3) という書き方は、ちょっと変ですが。 その計算過程が、ユークリッドの互除法であること を思い出せば、正しく gcd = -3 が求まっています。 gcd が定数式なので、互いに素。 0 以外の定数式は、多項式環の単元です。
- rabbit_cat
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何を目的に、どういうつもりで、何の式変形をしているのかが、いまいち不明。。 とりあえず、公約多項式を求めたいなら、普通は、ユークリッド互除法でやるのが一番早いでしょう。
お礼
有難うございます。結局は多項式同士が互いに素を証明したかったんです。
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