位相とは？

質問

複素解析の本に
『複素数の絶対値の性質から明らかなように、複素数z, z'に対してd(z,z') = | z' - z | とすれば、dはＣ上の'距離関数'を与える:
(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る
(M2) d(z, z') = d(z', z)
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'')
したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され、それを元に極限、連続性などの議論を進めることが出来る。』

とあったのですが、位相ってなんですか？

実は前にもちょっと似た質問をしたことがあってその時はトポロジーの和訳、くらいに思っていたんですが、
この文脈からするとやっぱり分かってない事を改めて認識させられました。

「位相とは」について教えてください。

回答No.12

prome

>> したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され
>
>という記述ですが、この場合集合ＳがＣに相当しますよね？
>Ｄとしては例えばどんなものが考えられるのですか？
>（こんな質問してる事自体分かってない事を露呈しているのかな？）

inukoroさんが答えられるのかもしれませんが、ちょっと横から。
どうしても理解したいのなら、専門書をひもとくか、
御自分で考えられた方がいいのでは？数日かけて。
あるいはさらっと流しておくか。

大学レベルの数学関係の本にはよくこういう表現があります。
文中で深く論じることが、本来の目的から逸脱するとか、
（この場合だと複素解析がメインだから）
あるいは知っている人には退屈する議論になるなどの理由で、
一言でさらっと流してしまう。
私もそうでしたが、初心者にはこれがわからない。
詰まってしまうんですね。
私はさらっと流してしまったクチです。
位相の講義でもっと勉強して理解しようとしました。
でないとメインの複素解析が進まなくなるから。

>それと、定義は明確になったとは言いつつ１つ分からない記号がありました。
>
>> λ∈Λ
>
>ってどう言う意味ですか？

これは添字集合というものです。例えばn個の集合Y_1,Y_2,...,Y_nを表現する時、
S={1,2,...,n}として、Y_i(i∈S)と書く方法です。この時Sを添字集合といいます。
ここで書かれている添字集合Λは、ある特定の集合を示しているのではありません。
集合が有限個なら上記の通りで、無限個例えば自然数の個数と同じだけある
集合を表現する時は、Ｎ（印刷物ではよく太字のＮになってます）を
自然数全体の集合とすると、Y_n(n∈Ｎ)と書きます。

なぜΛの文字を使うかは知りませんが、Ｎだと自然数、Ｒだと実数、
Ｃだと複素数、と暗黙のうちにそう解釈されるので、他の用途にあまり使わない
Λの文字を使っているのではないか、程度の認識しかありません。
多くの文献でΛを使っているので、数学を専門にやっている人は、
黙ってΛと書いても任意の添字集合だな、と理解します。

添字集合のことは集合論の本に書いてあると思います。
集合論は深入りすると結構大変ですが、
集合の濃度についてはさらっと勉強された方がいいかと思います。
実はinukoroさん記述の位相空間の定義の３つ目は、添字集合Λの濃度に
依存せず、成り立つということを言っているので。
（濃度とは集合の元の個数です。1,2,3と数えられない無限集合の場合
「個数」というと語弊があるのであえて「濃度」という用語を使います）

補足

> どうしても理解したいのなら、専門書をひもとくか、
> 御自分で考えられた方がいいのでは？数日かけて。
> あるいはさらっと流しておくか。

教えて！ｇｏｏでは良くこう言った回答を目にします。
しかし僕はそれよりも教えて！ｇｏｏで聞いた方がいいと思うからそうするのです。
きっと上のような事をおっしゃる方は大都市圏で専門書を扱ってる書店に手軽に足を向ける事の出来る方か、
大学や市立や区立の図書館が近くにあって内容が充実していると言う恵まれた環境にいらっしゃる方なのではないでしょうか？

そう言った事が出来ない環境にいる者にとって、教えて！ｇｏｏはとてもありがたい存在です。
わざわざ交通費と時間を割いて探しに行かなくても情報を与えてくれる方が沢山いらっしゃるのですから。
もちろん、その回答の全てが内容に不備がないと言うわけではない事も知っていますし
そのために却って混乱させられる事もしばしばです。

それでも教えて！ｇｏｏは自分にとって最善の選択なのです。

それはさておき、

>> したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され
>
>という記述ですが、この場合集合ＳがＣに相当しますよね？
>Ｄとしては例えばどんなものが考えられるのですか？

についてのinukoroさんの回答が待たれる所です。