大きな階乗の計算とスターリングの公式を用いた近似方法
- 「統計学入門」という本で学んだスターリングの公式を使って大きな階乗の計算を近似する方法について説明します。
- スターリングの公式を用いると、10!や20!などの大きな数字の階乗を簡単に近似することができます。
- 具体的な手順としては、まずスターリングの公式で階乗の第一近似値を求め、その結果を常用対数表を用いて実際の数字に近似します。
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大きな階乗の計算：スターリングの公式→常用対数表
「統計学入門」という本を読んでいて、10!や20!などの大きな数字の階乗の計算のために「スターリングの公式」というのが出てきました。その計算結果はExcelで正しく出たのですが、その計算結果を常用対数表を使って実際の数字に近似する手順を教えて下さい。 まずは添付画像をご覧下さい。 スターリングの公式で10!の第一近似が6.556145115465と出て、 「これを常用対数表から、10!は7桁で 10!≒3598695.61874... となる。」 とありますが、常用対数表のどこの項目を見てその3598695.61874...が出てきたんですか？ 6.5と6の交差したところの値、0.8169は3598695.61874...とはまったく関係ないですよね？ 逆に、2.2と9の交差したところの値が3.598になっています。これですか？もしこれだとしたら、2.29がどこから出てきたか分かりません。 ※7桁の部分は理解しています、6.556145115465を切り上げると7なので。 「"常用対数表" "階乗" "スターリングの公式"」などで検索してもどこにもその手順が見つかりません。どうか教えて下さい。
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うーん.... > スターリングの公式で10!の第一近似が6.556145115465と出て、 まず、この表現が微妙ですが、これは log (10!) / log (10) ≃ 6.556145115465 （実際には6.55976303...）、ということですね。 したがって、10! ≃ 10 ^ 6.556145115465 = (10^6) * (10*0.556145...) となります。で、冗長ですが、 x = 10*0.556145... の値を求めるには、 log(x) / log(10) = 0.556145..... となるので、常用対数表で値が 0.556...となる xの値を読めばよく、すると xは3.60位、ですね。 従って、10! ≃ (10^6) * 3.60 となります。 要は、常用対数表に載っている範囲の値で考えるために、6.556145115465... の所を分離して考えないといけない、という訳ですね。
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お礼
ベストアンサーを差し上げます。 なるほど、小数点の位置で分離するわけですね。 理解しました。 これは便利ですね。 実は10!や20!ぐらいなら、表計算ソフトで計算できてしまうんですが、このページの下の方に載っていた300!の例は、Google Spreadsheetでは計算できませんでした。 なぜなら、Google Spreadsheetの階乗の関数Fact()は、170!までしか受け付けず、10^nの最大値は1.79769E+308までだからです。 にもかかわらず、スターリングの公式と常用対数表を用いた計算なら算出できてしまうなんて、素晴らしいです。 ご回答ありがとうございました！