exp(-x) / {1 + exp(-x)}

質問

y = 1/{1 + exp(-x)}の時、
exp(-x) / {1 + exp(-x)}
が
(1-y)
になるようなんですが、どうやって計算するか教えて下さい。

自分でやってみると、
exp(-x) / {1 + exp(-x)}
を分解すると
exp(-x) * 1/{1 + exp(-x)}
なので、
exp(-x) * y
これが
(1-y)
になるかは分かりません…。

なにか変換できる特別な式があるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

gamma1854 · ベストアンサー

e^(-x)=A と略記します。このとき、
y=A/(1+A)=((1+A-1)/(1+A)=1 - 1/(1+A)=1-y.
ではありませんか。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
そのような公式があったんですね。
（昔、どこかで見たかもですが覚えてないです。）
よくよく見るとNo.2さんもその公式に沿って計算されていますね。
これは汎用性が高いのでこの機会に覚えておきます。
ありがとうございました！

回答No.2

m-take0220

exp(-x)/{1+exp(-x)} = 1/{1+exp(-x)}-1/{1+exp(-x)}+exp(-x)/{1+exp(-x)}
= {1+exp(-x)}/{1+exp(-x)}-1/{1+exp(-x)}
= 1-1/{1+exp(-x)}
= 1-y

お礼

ご回答ありがとうございます。
ただ、
1/{1+exp(-x)} - 1/{1+exp(-x)}
の部分が突如出てきて、1-yの答えを知っているからこその天下りの感が否めませんので、あまり好きな回答ではないです、すみません。
（私はそれも思い付かなかったので恐縮ですが…）

補足

天下りではなかったですね、すみません。
No.3さんの回答の公式と同じ解き方ということですね。
ご回答ありがとうございました。
※チップは先ほど差し上げてあります。

回答No.1

asuncion

y = 1 / (1 + exp(-x))
1 + exp(-x) = 1 / y
exp(-x) = 1/y - 1
exp(-x) / (1 + exp(-x)) = (1/y - 1) / (1/y) = 1 - y

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、元の式を移行すると同じ形ができたんですね。
しかし、No.3さんの公式が汎用性が高いため、今回はベストアンサーはお見送りとさせて下さい。
※チップは差し上げます。