∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12 の解き方を

質問

∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12　の解き方を教えてください。
岩波 数学公式Iにこの公式が載っているのですが、どのように式変形をして答を得るのかが分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫(0,∞){x/(exp(x)+1)}dx=π^2/12・・・・(1)
被積分関数を以下のように変形する。
x/(e^x+1) = x・Σ[k=1～∞](-1)^(k-1)・e^(-kx)　　　（x≧0）
fk(x)=(-1)^(k-1)・x・e^(-kx)　（k=1,2,3・・・）とすれば
Σ[k=1～∞]|fk(x)|は任意の0＜a＜bに対してa≦x≦bで一様収束して
Σ[k=1～∞]{∫(0,∞)|fk(x)|dx}
= Σ[k=1～∞]{∫(0,∞)x・e^(-kx)dx}
= Σ[k=1～∞]{[-1/k・xe^(-kx)](0,∞) + 1/k・∫(0,∞)e^(-kx)dx}
= Σ[k=1～∞]1/k^2n
は収束する。

よって
∫(0,∞){x/(e^x+1)}dx = Σ[k=1～∞]{(-1)^(k-1)・1/k^2} = π^2/12

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以下の事実を用いている!
φ(x),fk(x)(k=1,2,3・・・)が0＜x＜∞において連続且0＜x＜∞に含まれる
任意の閉区間においてΣ[k=1～∞]|fk(x)|が一様収束するものとする。
このとき
Σ[k=1～∞]{∫(0,∞)|φ(x)||fk(x)|dx},∫(0,∞)|φ(x)|{Σ[k=1～∞]|fk(x)|}dx
のどちらか一方が収束すれば
Σ[k=1～∞]{∫(0,∞)φ(x)・fk(x)dx} = ∫(0,∞)φ(x){Σ[k=1～∞]fk(x)}dx
が成り立つ。
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お礼

チェックが遅くなり申し訳ありません。
分りやすかったです。