∫exp{-c(x/a-b/x)^2}dxの計算

質問

以下の積分公式をどのように証明したらよいかご教示ください。

∫[0→∞] exp{-c(x/a-b/x)^2} dx = (a/2)√(π/c)

ガウスの積分公式∫[-∞→∞] exp(-nx^2) dx =√(π/n)　
を使い、x/a-c/x=zと変数変換しようとしましたがうまくいきません。
ご存知の方よろしくお願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫[0→∞] exp{-c(x/a-b/x)^2} dx = (a/2)√(π/c)

一つの方法として・・、
以下のラプラス変換L{f(t)}を既知として計算してみる・・!
f(t) = 1/(√(πt))・exp(-k^2/4t)のラプラス変換L{f(t)}は
L{1/(√(πt))・exp(-k^2/4t)} = (1/√s)・exp(-k√s)

∫[0→∞]{exp{-c(x/a-b/x)^2}}dx
= e^(2bc/a)・∫[0→∞]exp{(-c/a^2)・x^2}・exp(-cb^2/x^2)dx

x^2 = tとおくと2xdx = dt , dx = (1/2)・dt/√t

与式 = e^(2bc/a)・(1/2)・∫[0→∞]{exp{(-c/a^2)・t}(1/√t)・exp(-cb^2/t)}dt
c/a^2 = s , cb^2 = k^2/4 と見れば
∫[0→∞]{exp{(-c/a^2)・t}(1/√t)・exp(-cb^2/t)}dt
= (√π)・∫[0→∞]{exp(-st)・(1/√(πt))・exp(-k^2/4t)}dt
= (√π)・(1/√s)・exp(-k√s)
となるので、s , kを戻せば
1/√s = a/√c
exp(-k√s) = exp(-2b√c・√c/a) = e^(-2bc/a)

よって
与式 = (1/2)・e^(2bc/a)・√π・(a/√c)・e^(-2bc/a)
=　(a/2)・√(π/c)

お礼

ラプラス変換公式の
L{1/(√(πt))・exp(-k^2/4t)} = (1/√s)・exp(-k√s)
を使って証明できるのですね。
大変勉強になりました。
ありがとうございました。