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∫exp(x)/x dxの積分
こんにちは。 ラプラス変換で微分方程式を解く問題をといておりましたところ、 以下の式が出てきました。 L{X(t)} = (3+2s)/{(1+s)(2+s)(3+s)} L{Y(t)} = (2+4s+s^2)/{s(2+4s)} これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。 部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の 積分を求める必要が出てきます。 ∫exp(s)/s ds ……(1) ∫exp(s)*s^n ds において、nが自然数なら、部分積分で求めることができるのですが、 nが負の整数の場合、部分積分を行うと(1)で手詰まりになってしまいます。 仮に(1)を部分積分しても、 [(log|s|)exp(s)] - ∫(log|s|)exp(s) ds となり、∫(log|s|)exp(s) ds を求めることができないので、先に進めません。 どうやれば(1)の積分は解けるのでしょうか？
- youyouiti
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単純に部分分数分解を間違っているだけですね。 それとも、逆ラプラス変換を勘違いしているか、 どちらかです。 逆ラプラス変換は、ふつうは積分をして求めません ラプラス変換して対称の関数になる関数を探す作業をします。 また、∫exp(x)/x dx は初等関数で解析的に解くことはできません。 ですが、複素広義積分の計算はできます
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- info22
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>これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。 >部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の >積分を求める必要が出てきます。 >∫exp(s)/s ds ……(1) 途中計算が書いてないのでなんともいえませんが、 (1)式は出てきませんね。 どこかで計算ミスしていませんか？ >L{Y(t)} = (2+4s+s^2)/{s(2+4s)} これを部分分数に展開すると定数項に「1/4」が出てきますが、 この項はY(t)にDiracのδ関数が含まれることを意味しますが、 解こうとしているシステムではt=0でDiracのδ関数のような入力が発生するような現象が伴いますか？
- Tacosan
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その x(t), y(t) ならそんな積分はでてこないような気がするんだけどなぁ.... y(t) の方に δ がはいるのが気になるけど. ちなみにその原始関数は (初等的には) 表現できません.
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