7の倍数はなぜ一の位を2でかけて、その数字を10の

質問

7の倍数はなぜ一の位を2でかけて、その数字を10のくらいの数字から引くと、7の倍数の整数もしくはゼロに、なるんですか？

回答No.4

staratras · ベストアンサー

まず単純に2桁の整数Nで考えてみます。
十の位をa、一の位をbとすると、N=10a+bです。

Nが7の倍数かそうでないかは「Nから7の倍数を引いた数」が7の倍数かそうでないかと一致します。ここで7a+7bは明らかに7の倍数ですので、Nからこれを引きます。
N-(7a+7b)=10a+b-7a-7b=3a-6b=3(a-2b)　ですので、Nが7の倍数かどうかは、
a-2bが7の倍数かどうかと一致します。

3桁以上の数でも、十の位を拡大解釈して、例えば123の十の位は12、4319の十の位は431として計算すれば、この判定法が利用できます。

お礼

なるほど！よくわかりました

回答No.3

deshabari-haijo

ANo.2の補足です。

「7(k-3m)=10X」において、「7と10は互いに素であるから、Xは7の倍数になり」ということは、当然に「(k-3m)は10の倍数になる」ということです。
mは7の倍数7kにおける一の位の数字であるから、「m=7k-(10の倍数)」と表すことができます。
例えば、k=2のとき、7k=7×2=14であるから、m=14-10=4、k=3のとき、7k=7×3=21であるから、m=21-20=1になります。
よって、
k-3m=k-3{7k-(10の倍数)}=-20k+3×(10の倍数)→10の倍数
になります。

お礼

ありがとうございます。よくわかりませんがゆっくり考えます

回答No.2

deshabari-haijo

例えば、112=7×16であるから、112は7の倍数です。
そして、一の位の数字は2であるから、これに2をかけると2×2=4です。
しかし、112の十の位の数字は1であるから、1-4=-3となって0を含む7の倍数にはなりません。
ここで、十の位の数字が1桁ではなく2桁の11であると考えて、11-4=7（7の倍数）が成り立つとするのであれば、そのような証明が必要になります。

先ず、112から11を導き出すには次の計算をします。
(112-2)/10=11
さらに、これを一般化します。
ある7の倍数を7k（kは整数）と表し、この数の一の位の数字をm（同左）として、
(7k-m)/10-m×2=Xとおきます。
この両辺に10をかけて整理すると、7(k-3m)=10X
ここで、7と10は互いに素であるから、Xは7の倍数になり、7kが何桁であっても成り立ちます。

回答No.1

gamma1854

見やすいように「２桁の数」について考えます。
a, b を１桁の自然数(bは０も含む)とするとき、
M=10a+b は、２桁の自然数です。これについて、
a-2b=a-2(M-10a)=21a-2M
ですから、もしＭが７の倍数であれば(M=7mとおいて)、
a-2b=7(3a-2m).
となります。(逆ももちろん成立)
-----------------------
３桁以上のときも同様です。
ex) M=133 について、
13 - 3*2=7 .... 133は７の倍数。

お礼

21aは7の倍数だから、7の倍数から7の倍数を引いても7の倍数になるってことですか？

1001の場合
2100 -2m で、2100-2002 = 98
7の倍数