対称性のある連立方程式の実数解

質問

y=2x^2-1かつz=2y^2-1かつx=2z^2-1を満たす実数(x.y.z)について次のことを示せ。(1)|x|≦1,|y|≦1,|z|≦1(2)(x.y.z)は相異なる8組の実数解をもつ。
これが全然分かりません。

回答No.5

info33

No.4 です。

ANo.4 の補足です。
ANo.4で[1],[2],[3]の連立方程式が, 条件(1)を満たす(x,y,z)の相異なる8組の実数解をもつ事を示した。
質問の解答としてはそれでいいが,

相異なる8組の実数解を実際に求めると
ANo.4 より
x=1, -1/2, x1, x2, x3, x4, x5, x6.
x1= -cos(π/9)= -0.9396..., x2=cos(4π/9)=0.1736..., x3=cos(2π/9)=0.7660...,
x4= -cos(π/7)= -0.9009..., x5= -cos(3π/7)= -0.2225..., x6=cos(2π/7)=.0.6234...

と求まり, 連立方程式の実数解の組は, 以下のようになります。

(x,y,z)=(1,1,1),(-1/2,-1/2,-1/2),(x1,x3,x2),(x2,x1,x3),(x3,x2,x1),(x4,x6,x5),
(x5,x4,x6),(x6,x5,x4).

回答No.4

info33

y=2x^2-1 ...[1]
z=2y^2-1 ...[2]
x=2z^2-1 ...[3]

[1]を[2]に代入
z=2(2x^2-1)^2-1 ...[4]
[4]を[3]に代入
x=2(2(2x^2-1)^2-1)^2-1
2(2(2x^2-1)^2-1)^2 -x -1=0
128x^8-256x^6+160x^4-32x^2-x+1=0
(x-1)(2x+1)(8x^3-6x+1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0 ...[5]
この実数解は
x=1, x= -1/2, および
f(x)=8x^3-6x+1=0 の実数解,
g(x)=8x^3+4x^2-4x-1=0 の実数解.

f(x)=0 の実数解を求めると
f '(x)=6(4x^2-1)=6(2x+1)(2x-1)
f ''(x)=48x
f '(x)=0 x= -1/2, 1/2
f(-1)= -8+6+1= -1<0, f(-1/2)= -1+3+1=1>0, f(1/2)=1-3+1= -1<0,
f(1)=8-6+1=3>0,
異なる3つの実数解 x1, x2, x3 をもつ
x=x1, x2, x3 ( -1<x1<-1/2<x2<1/2<x3<1)
ニュートン法で実際に求めると
(x1= -0.9396... , x2=0.1736... , x3=0.7660... ).

g(x)=0 の実数解を求めると
g(x)=8x^3+4x^2-4x-1,
g'(x)=24x^2+8x-4=4(6x^2+2x-1),
g''(x)=48x,
g'(x)=0, x=(-1-7^(1/2))/6, (-1+7^(1/2))/6
g(-1)= -8+4+4-1= -1<0, g(-1/2)= -1+1+2-1=1>0,
g(0)= -1<0, g(1)=8+4-4-1=7>0
異なる3つの実数解 x4, x5, x6 をもつ
x=x4, x5, x6 (-1<x4< -1/2<x5<0<x6<1)
ニュートン法で実際に求めると
(x4= -0.9009... ,x5= -0.2225..., x6=0.6234... .)

以上から[5]の実数解は 8個有りすべて相異なる。
x=1, -1/2, x1, x2, x3, x4, x5, x6.
(x1= -0.9396... , x2=0.1736... , x3=0.7660... , x4= -0.9009... ,x5= -0.2225..., x6=0.6234...).
[1],[4]に代入すれば, (1)の条件を満たす相異なる8組の実数解の組(x,y,z)を求めることができます。

回答No.3

tmpname

あと、
t = 0, 2π/9, 4π/9, 6π/9, 8π/9, 2π/7, 4π/7, 6π/7
でした（πいらない...）

回答No.2

tmpname

(2)は 正しくは
|x|≦1であるから、x = cos(t) (0≦t≦π)とおける
です。

回答No.1

tmpname

ヒント：
取り敢えず「絶対値が1以下」「2x^2 - 1という怪しげな式」を見たら、 cosの2倍角の式を思い浮かべる、ということだろうか...

以下、f(a) = 2a^2 - 1とおく。実数aに対して、明らかに f(a)≧-1である。
(1)
x = f(z) ≧ -1であるから、x≦1を示せば良い。x>1として矛盾を示す。
一般にa>1のとき、f(a) - a = 2a^2 - a - 1 = (2a + 1) (a-1) > 0 であるから、f(a) > a > 1となる。
従って、x>1ならばy = f(x) > x > 1, z=f(y) > y > x > 1, x= f(z) > z > y > x > 1となって、結局 x>xとなって矛盾する。従って x≦1。よって|x|≦1である。
同様に|y|≦1, |z|≦1である。

(2)
|x| = 1であるから、x = cos(t) (0≦t≦π)とおける。ここで、0≦t≦πの範囲において、x=cos(t)というtとxの関係は「一対一対応」であることに注意。
さて、このときy=2(cos(t))^2 - 1 = cos(2t)。同様に z=cos(4t)である。残された関係は x=f(z)の式だけであるから、結局 cos(t) = f(z) = cos(8t)、即ち 『cos(t) = cos(8t)』を0≦t≦πの範囲でとけば、この時のtの解の個数がそのまま(x,y,z)の解の組の個数になる、ということである。
（繰り返すが、 0≦t≦πの範囲において、x=cos(t)というtとxの関係は「一対一対応」)

でcos(t) = cos(8t)を解くと、sin(9t/2) sin(7t/2) = 0となるから、 0≦t≦πの範囲において t = 0, 2π/9, 4π/9, 6π/9, 8π/9, π, 2π/7, 4π/7, 6π/7 の8つ解があり、それぞれのtが異なる(x,y,z)の解の組に対応する。