数学 不定方程式

質問

3X+5Y=44を満たす自然数の解(X,Y)を求めよ

という問題をX(orY)に1～代入していく以外の解き方はありますか？

回答No.8

Water_5 · ベストアンサー

今から、手品やります。
3X+5Y=44・・・・（１）より
Y=8.8-0.6X・・・・（２）が成り立つ
【I】
（２）式の両辺に１．８を足して変形する。
Y－８．８＋１．８＝-０．６X＋１．８
Y-７＝－０．６（X-３）
故に
（X,Y)＝（３，７）である。
【II】
（２）式の両辺に４．８を足して変形する。
Y－８．８＋４．８＝-０．６X＋４．８
Y-4=－０．６（X-８）
故に
（X,Y)＝（８，４）である。
【III】
（２）式の両辺に７．８を足して変形する。
Y－８．８＋７．８＝-０．６X＋７.８
Y-1＝-0.6（X-13)
故に
（X.Y)＝（１３，１）

回答No.14

noname#242965

3X+5Y=44・・・・・（１）より
３X＝４４－５Y
X=１４．６－１．６Y
Xが自然数であることより
１４．６＞１．６Y
９．０６＞Y＞０・・・・・・（２）
Yが自然数より
９≧Y≧１・・・・・（３）
一方（１）式より
３（X+Y)＝２（２２－Y)・・・・・・（４）
この式より
（２２－Y)は３の倍数であることがわかる。
（３）式より
－１≧－Y≧-9
両辺に22を足して
２１≧（２２－Y）≧１２
この範囲で（２２－Y)が3の倍数であるのは
（２２－Y)＝１５のときY=７、X=3
（X,Y)＝（３，７）
（２２－Y)＝１８のときY=４、X=８
（X,Y)＝（８，４）
（２２－Y)＝２１のときY=１、X=１３
（X,Y)＝（１３，１）

以上

回答No.13

Water_5

3X+5Y=44・・・・（１）より
Y=8.8-0.6X・・・・（２）が成り立つ。
Yが自然数であることより
１４≧X≧１が成り立つことが必要である。
Yが自然数であるためには、０．６X=＊.８である必要がある。
よって
X=1のとき
（２）式より
Y=８．８－０．６・１＝８．２となりダメ
X=2の時、（２）式より
Y=８．８－０．６・２＝７．６となりダメ
X=3の時、（２）式より
Y=８．８－０．６・３＝７となりOK！
X=４の時、（２）式より
Y=８．８－０．６・４＝６．４となりダメ。
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
X=８の時、（２）式より
Y=８．８－０．６・８＝４．０となり、OK!
X=９の時、（２）式より
Y=８．８－０．６・９＝３．４となりダメ。
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
X=13の時、（２）式より
Y＝８．８－０．６・１３＝７．８でOK！
X=１４の時、（２）式より
Y＝８．８－０．６・１４＝０．４となりダメ。
以上より
（X,Y)=（３、７）
（X,Y)＝（８，４）
（X,Y)＝（１３，１）

以上です。

回答No.12

masudaya

例えば，3X+5Y=1となる整数解は見つかれば，
解を44倍することで，3X+5Y=44の特殊解をみつけることが可能です.
後は，それぞれのX,Yに3X+5Y=0となる整数を加えても，
3X+5Y=44となるので，その中で，自然数解の条件を満たすものをみつければ良いことになります.

1)3X+5Y=1の特殊解
これは簡単で ，X=-3,Y=2がそれに当たる.

2)3X+5Y=44の特殊解
これは1)の解を44倍すれば求まるので
X=-132,Y=88

3)3X+5Y=0の解
これをXについて解くと
X=5/3 Yとなり,Xが整数であるためにはYは3の倍数である必要があり
Y=3kとおける.(kは整数)よってXはX=-5kとなる.

よって,一般の解は2)の解と3)の解の和
X=-132-5k,Y=88+3k

となります.X,Yとも自然数が求める解になるので
X>0のためには,k<-132/5＝-26.4
Y>0のためには,k＞88/3=-29.33…
よって-29.33<k<-26.4なのでk=-29,-28,-27のときで
(X,Y)=(13,1),(8,4),(3,7)
が解となります.

回答No.11

staratras

3X+5Y=44…（１） のグラフを描いてみると見通し良く解けるかもしれません。

題意は、（１）のグラフ上の格子点（ただしX,Yとも自然数）を求めることです。下のグラフ上ではA(3,7)、B(8,4)、C(13,1)であることは明らかです。

計算してみます。（１）から3X+3Y=44-2Y　つまり3(X+Y)=2(22-Y) だから
22-Yは3の倍数。
また（１）にX=0を代入するとY=44/5=8.8 だから1≦Y≦8　
この範囲で14≦22-Y≦21　となる22-Yが3の倍数となるのは
22-Y=15 のときY=7、このときX=3
22-Y=18 のときY=4、このときX=8
22-Y=21 のときY=1、このときX=13

回答No.10

178-tall

ANo.7 の錯乱訂正。

非負解探し。
　　↓
一般解を構成する。
　X = -22+2k, Y=22-k
　　ただし、k は整数。
X, Y≧0 となる k は？

　k = 5： X=3, Y=7
　k = 6： X=8, Y=4
　k = 7： X=13, Y=1

回答No.9

tarame

3X+5Y=44…(1)
3*(-1)+5*1=2より
3*(-22)+5*22=44…(2)
(1)-(2)より
3(X+22)+5(Y-22)=0
3(X+22)=-5(Y-22)
3と5は互いに素だから
X+22=5k、Y-22=-3k（kは整数）とおける
X=5k-22、Y=22-3k …(3)
X,Yは自然数だから
5k-22≧1、22-3k≧1
よって、23/5≦k≦7 より
k=5,6,7
(3)に代入

回答No.7

178-tall

ANo.4 の錯乱訂正。

「X (orY) に 1 ～ 代入していく解き方」を書いてしまいました。蒙御免。
ふつうのやり方の一例…。

　3X + 5Y = 44
　　　↓
　3(X+Y) + 2Y = 44
　3X' + 2Y = 44
　　　↓
　X' + 2(X'+Y) = 44
　X' + 2Y' = 44
ここで、X'=(X+Y) = 0, Y=22 なる特解を得る。
つまり、X=-22, Y=22 。

非負解探し。
　　↓
一般解を構成する。
　X = -22+2k, Y=22-k
　　ただし、k は整数。
X, Y≧0 となる k は？
　k = 3： X=8, Y=4

回答No.6

Water_5

3X+5Y=44・・・・（１）より
Y=8.8-0.6X・・・・（２）が成り立つ。
Yが自然数であることより
１４≧X≧１が成り立つことが必要である。
Yが自然数であるためには、０．６X=＊.８である必要がある。
よって
X=３、８，１３である。

回答No.5

Water_5

3X+5Y=44・・・・（１）より

Y=8.8-0.6X・・・・（２）が成り立つ。
Yが自然数であることより
１４≧X≧１が成り立つ。
X=1の時
Y=８．８－０．６＝８．２となり成立しない。
X=2の時
Y=８．８－１．２＝７．６となり成立しない。
X=3の時
Y=８．８－１．８＝７となり成立する。
X=4のとき
Y=８．８－２．４＝６．４となり成立しない。
X=５の時
Y=８．８－３．０＝５．８となり成立しない。
X=６の時
Y=８．８－３．６＝５．２となり成立しない。
X=７の時
Y=８．８－４．２＝４．６となり成立しない。
X=8の時
Y=８．８－４．８＝４となり成立する。
X=9のとき
Y=８．８－５．４＝３．４となり成立しない。
X=10の時
Y=８．８－６．０＝２．８となり成立しない。
X=11の時
Y=８．８－６．６＝２．２となり成立しない
X=１２の時
Y=８．８－７．２＝１．６となり成立しない。
X=１３の時
Y=８．８－７．８＝１．０となり成立する
X=14の時
Y=８．８－８．４＝０．４となり成立しない。

以上より
（X,Y）＝（３、７）
（X,Y)＝（８、４）
（X,Y)＝（１３、１．０）

あ～疲れた。

回答No.4

178-tall

3X + 5Y = 44
　　　↓
　5Y = 44 - 3X
つまり、右辺 44 - 3X は 5 で整除可能。

たとえば x=8 のとき、
　5Y = 44 -24 = 20
　Y = 20/5 = 4

∴ X = 8-5k, Y = 4+3k
　　ただし、k は整数。