高校数学、整数解をもつ不定方程式

質問

（問題）
７ｘ＋９ｙ－８ｚ＝－７((1)）
3x＋2y－6z＝－8((2)）
（解答）(1)×３－(2)×４より、９ｘ＋１９ｙ＝１１((3)）

ｘ＝－３、ｙ＝２は(3)の整数解の１つだから、(3)⇔９（ｘ＋３）＝－１９（ｙ－２）
よって、ｋを整数として、ｘ＝－１９ｋ－３、ｙ＝９ｋ＋２（(4)）
(4)を(1)に代入して、７（－１９ｋ－３）＋９（９ｋ＋２）－８ｚ＝－７⇔１３ｋ＋２ｚ＝１
ｋ＝１、ｚ＝－６はこの方程式の整数解の１つで、１３（ｋ－１）＝－２（ｚ＋６）
よって、ｍが整数のとき、ｋ＝－２ｍ＋１、ｚ＝１３ｍ－６。
ｋ＝－２ｍ＋１を(4)に代入して、ｘ＝３８ｍ－２２、ｙ＝－１８ｍ＋１１、ｚ＝１３ｍ－６（ｍは整数）
（疑問）
この問題の方針は2つの方程式から1つの文字を消去した方程式（2文字）を作り、その方程式を満たす解を求め、その解を元の方程式の1つに代入し、3つの解を求める。というものです。
方程式(3)を満たすｘとｙはすべて、(1)と(2)を満たすのですよね？
にもかかわらず、(4)で、ｋ＝０としたｘ、ｙは(1)を満たしません。（ｚ＝１／２となって、整数にはならない）
また、今回この問題の疑問について、他の参考書で調べたところ、次の事柄が載っておりました。
（参考書）加減法の基本原理
（１）F(x,y)＝０かつG(x,y)＝０⇒aF(x,y)+bG(x,y)=0
（２）F(x,y)＝０かつG(x,y)=０⇔F(x,y)=0かつaF(x,y)+bG(x,y)=0
（１）について、なぜ逆（aF(x,y)+bG(x,y)=0⇒F(x,y)＝０かつG(x,y)＝０）は成り立たないのでしょうか?

aF(x,y)+bG(x,y)=0は点（Ｘ、Ｙ）を通る直線群を表しますから、この（Ｘ、Ｙ）はそれぞれa=1かつb=0,a=0かつb=1としたＦ(X,Y)=0とＧ（Ｘ、Ｙ）＝０を成り立たせるのではないでしょうか？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

まず、(3)式を満たすx,yをkで表し、
さらに(4)式を満たすz,kをmで表しているわけですよね。

ところで、(1)式にはzも含まれているので、kだけで考えてはダメですよね。
なので、k=0という条件だけで考えてはいけないのです。
現に、k=-2m+1という条件からk≠0となってますよね。

(参考書)の件ですが、F(x,y)= -G(x,y)、a=bで反例になりますよね。
FやGが1次式とも書かれていないので、直線群を表すかどうかもわかりませんが。

補足

ありがとうございました

回答No.4

178-tall

>　7x+9y-8z=-7　　…(1)
　3x+2y-6z=-8　　…(2)
z を消去すると、
　9x+19y＝11　　…(3)
(3) の一般解 : x=-3-19k, y=2+9k　　…(4)

これを (1) へ入れて、z の整数解を求めると？

　-52k - 8z = -4
　52k + 8z = 4
　　　↓ ÷(-4)
　13k + 2z = 1
特解 : k=1, z=-6
一般解 : k=1-2m, z=-6+13m

(例) m=0 : k=1 (x=-22, y=11) , z=-6 を (1) へ代入してみると OK 。

… といった調子かナ。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

asuncion

＞整数解とは限らない

『その時点では、』整数解とは限らない
と言った方がよかったかもしれません。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

asuncion

＞方程式(3)を満たすｘとｙはすべて、(1)と(2)を満たすのですよね？

そのとおりですが、
整数解とは限らない
ということだと思います。

お礼

ありがとうございました