オイラーの定理とは？
- オイラーの定理とは、整数nと整数aが互いに素な時、aのオイラー関数φ(n)を法として、aの冪が1に等しいという定理です。
- 具体的な例として、n=45=3^2*5、a=7の場合を考えると、φ(45)=6*4=24であり、7^24≡1 (mod 45)となります。
- また、中国の剰余定理から、7^24≡1 (mod 3^2*5)となる解はただ1つ存在します。したがって、7^24≡1 (mod 45)が成り立ちます。
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オイラーの定理(整数)
nは自然数、aは整数とする。aとnが互いに素な時、a^{φ(n)}≡1( mod n)が成り立つ。 ここでφ(n)は「n以下の自然数でnと互いに素なものの個数を表す」"オイラーの関数"である。 この定理の例証で、例えばn=45=3^(2)*5のときa=7として考えます。 φ(45)=φ(3^2)*φ(5)となり、φ(3^2)=6、φ(5)=4です。 フェルマーの小定理よりmod 5 で、7^φ(45)={7^φ(5)}^φ(3^2)は {7^φ(5)}≡1 (mod 5)より、7^φ(45)≡1 (mod 5 )・・・(1)になり。 次に7^φ(3^2)≡1(mod 3^2)をしるします。フェルマーの小定理より mod 3 で 7^(3-1)≡1なので7^(3-1)＝3k+1、 7^φ(3^2)={7^(3-1)}^3＝(3k+1)^3=(3k)^3+3C1(3k)^2+3C2(3k)+1 3C1、3C2は３の倍数なので、7^φ(3^2)≡1(mod 3^2)・・・(2)です。 よって、7^φ(45)={7^φ(3^2)}^φ(5)≡1(mod 3^2)となります。 ここからが分からない箇所なのですが、中国の剰余定理から、 (1)かつ(2)⇔7^φ(45)≡■(mod 3^(2)*5)となる■が、1つだけ存在します。と書いてありますが、自分は中国の剰余定理は、m、nを互いに素な自然数とする。 x≡a(mod m)かつ x≡b(mod n)を満たす整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と書いてあることから、割る数が違えば、a,bのように余りもちがう場合に、整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と思っていたのですが、 この例証では、■≡7^φ(45) (mod 5)かつ■≡7^φ(45) (mod 3^2)のような余りが 一緒の場合を同時に満たす■を求めているような気がして、中国の剰余定理があてはまるか不安です。 自分の考えの間違いや、余りが一緒の場合でも中国の剰余定理が使えるかを教えてください。お願いします。 本では、■＝1のとき(1)、(2)が成り立つので、■＝1だとわかります。 よって7^φ(45)≡1(mod 45 )となることがしるされました。としめくくっています。
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中国の剰余定理は、m、nを互いに素な自然数とする。 x≡a(mod m)かつ x≡b(mod n)を満たす整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と書いてあるよね。aとbが異なるとはどこにも書いていない。
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