整数係数のmonic polynomialによる異なる素因数を持つ整数の存在
- 任意の整数kに対して、f(m)がk個の異なる素因数をもつような整数mは存在するか
- f(m)の素因数がp_1, p_2, ..., p_kとなるようなmが存在することを示す
- 中国の剰余定理を用いて、f(y)がp_1, p_2, ..., p_kのすべてで割り切れることを示す
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任意のkに対し、f(m）がk個の素因数を持つ様なm
f(x)を整数係数のmonic polynomialとしたとき 任意の整数kに対して、f(m)がk個の異なる素因数をもつような整数mは存在するか という問題なのですが、 素数を小さい順にp_1 ,p_2, p_3, ...とし、 f(m)の素因数がp_1, p_2, ... , p_kとなるようなmが存在することを示す。 f(x)は問題文の条件より f(x)=(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)とおける (a_iは整数） p_iは素数なので互いに素 中国の剰余定理より y≡a_1 (mod p_1) y≡a_2 (mod p_2) y≡a_3 (mod p_3) ... y≡a_k (mod p_k) を満たすｙが存在する。 y-a_1≡0 (mod p_1) y-a_2≡0 (mod p_2) y-a_3≡0(mod p_3) ... y-a_k≡0(mod p_k) となるためf(y)はp_1, p_2, ..., p_kのすべてで割り切れる。 間違いがあったら指摘ください。
- nemuine8
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題意も証明方針も今一つピンとこないのだけれど、 任意の整係数モニック多項式が 整係数一次式の積に分解する…という主張は 明らかに間違い。よって、その証明は正しくない。 反例： x^2 + 2 とか。
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- Tacosan
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「k個の異なる素因数をもつ」というのは「ちょうど k個」という意味でしょうか, それとも「少なくとも k個」という意味でしょうか? 「f(x)=(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)とおける (a_iは整数）」のところがわかりません.
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お礼
回答ありがとうございます。一次式には確かに分解できないですね。。。考え直して再度質問します