素因数分解と分数
- 整数の性質を利用して、ある整数が他の整数で割り切れるかどうかを証明する問題です。
- 具体的な例を用いて、問題を解析しています。
- 最大公倍数を使って、分数の整数性を示す方法を提案しています。
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素因数分解と分数
以下の問題を解いていて、解答に納得がいかないので教えてください。 問)a_1,...,a_n(n>1)を0でない整数とする。ある整数pと正の整数hとが存在して、 a_1,...,a_nのうちの一つのa_iだけがp^hで割り切れ、他のa_jはどれもp^hでは割り切れないとする。そのとき、 S=1/a_1+1/a_2+...+1/a_n (*) は整数でないことを証明せよ 解)「a_iを割り切る最大のべきをp^k」とし、mをa_1,a_2,...,a_i/p^k,...,a_nの最小公倍数とする。(*)の両辺をm倍すると、右辺のm/a_i以外の項は整数だが、mはp^hで割り切れないのでm/a_iは整数でない。 ここで不思議に思ったのは、「」の部分でなぜ最大のべきを置いたかです。 m'として、a_1,a_2,...,a_i/p^h,...,a_nの最小公倍数としても問題ないと思います。 a_iにp^hで割っていること、p^hの素因数をa_i以外がもたないこと、この二つから、 m'のpの指数はa_iのpの指数(p^k)を超えることはないのではないかと思います。 これで、m'/a_iが整数でないことが示せると思います。 大変長く、わかりにくくなってすみません 何か自分が勘違いしているのか、他に見逃しているところがあるのか教えてください。
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> 示せると思います 仰る通り、示せるでしょう。 列aが(1, 54)、p=3, h=1の場合でやってみましょ。すると S= 1+1/54 である。 解)によれば、(p^k)=27だから、1と54/(p^k)=2の最小公倍数はm=2。 mS = m(1+1/54) = 2 + 1/27 さて、m=2はp^h=3で割り切れない。以上おしまい。 一方、お説によれば、1と54/(p^h)=18の最小公倍数はm=18。 mS = m(1+1/54) = 18 + 1/3 さて、m=18はp^h=3で割り切れる。で、…(続く) というわけで、解のやり方のほうが話が簡単。というだけの違いです。
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