因数と素因数およびそれを用いた証明

質問

他の方の質問に回答しているやりとりの中でどうしても腑に落ちないことがあり、これ以上その方の回答欄に書くわけにもいかないと思い質問します。

「素因数」…ある整数の約数である素数のこと。
「因数」…一つの数または式がいくつかの数または式の積によって形成されている場合、その個々のその個々の数や式、因子。
(いずれも広辞苑より)
とあります。
この説明を読む限りでは、素因数⊂因数だと思います。つまり、整数が因数の積で表される時、その因数が素数の時は特に素因数と呼ぶ、と。
ということは、証明においてある整数の因数全体で成り立つことが示せれば、その整数の素因数でも成り立つことは自明だと思うのですが、違うのでしょうか？

また、ほとんどの参考書および教科書では、
「ある整数Aと１を除く自然数ｍにおいて、A^3がｍの倍数⇔Aがｍの倍数」であることを自明のこととして扱っています(mが素数かどうかに関わらず)。事実私もそうでした。しかし、自明ではないという意見もあるようです。どちらなのでしょうか？
自明であるという意見の方はその理由を、自明でないと言う方は反例をあげて下さい。

長文になりましたが、よろしくお願いします。

回答No.1

ONB · ベストアンサー

前半部に関しては仰るとおりだと思います。

後半部においては、ほとんどの参考書および教科書では、とありますがこれはおそらく読み間違いでしょう。
自明どころか誤りです。mが素数なら正しいですが、
m=4 , A=2
は明らかに反例になってますね。

なお、上で素数なら正しいと書きましたが、素数でなくても成り立つ数はたくさんあります。どういう数なら成り立つのか考えてみるのはいい勉強になるのではないでしょうか。

お礼

すばやい回答ありがとうございます！
ほんとだーこんなことに気づかなかったなんて…だいぶまぬけですね。

で回答を読ませていただいて思ったのですが、ｍが素数の累乗の時は確かに反例がいくらでも作れますが、素数の１乗同士の積、例えばｍ＝６、ｍ＝１０などの時は自明としてよろしいのでしょうか？

回答No.2

ONB

はい、仰るとおり、m=6とか10とか、素因数分解に同じ素数が現れないような数なら正しいです。しかし、自明と言っていいレベルではおそらくないでしょう。証明が必要な事柄です。
仮に大学入試の答案につかうならきちんと証明してから使うか、時間がなければ一言、「素因数分解に同じ素数が二回以上現れないので、」のような但し書きは要るはずです。

お礼

わかりました。ありがとうございます！
自分自身がｍ＝６とか１０とか１５とかそういう数字でしか考えてなかったので「絶対成り立つじゃん」と思っていましたが累乗は考えてなかったですね…数学で特殊な形を無視してはいけないことを痛切に感じました。わかっているつもりで必死で論理展開していた自分が恥ずかしい＞＜。

非常に参考になりました。ありがとうございます。