連続する整数の積を用いた因数分解

質問

問　x(x-1)(x-2)=4・5・6の解を求めよ。
という問題において、連続する整数の積の考え方を用いることで瞬時にxの因数は6ということがわかってしまうらしいのですがなぜでしょうか？

連続する整数の積の考え方では
連続する整数の個数がm個の場合ｍ！の約数を持つ
ということなので
左辺も右辺もともに6の約数を持っているということはわかります。

しかし、約数ならば因数であるとは必ずしもいえないはずなのに
今回は問題を見ただけでわかってしまうのでしょうか？

回答お願いします。

回答No.4

noname#212313 · ベストアンサー

> 問　x(x-1)(x-2)=4・5・6の解を求めよ。
> 連続する整数の積の考え方を用いることで瞬時にxの因数は6ということがわかってしまう

　左辺のx(x-1)(x-2)はxから1ずつ減っています。1ずつ減る3つの整数の積ということになります。

　一方、右辺の4・5・6は、4から1ずつ増える3つの整数の積です。4・5・6＝6・5・4と並べ替えれば、6から1ずつ減る3つの整数の積です。

　ということは、x(x-1)(x-2)＝6・5・4の両辺を見比べれば、

　x＝6
　x-1＝5　（∴x＝6）
　x-2＝4　（∴x＝6）

という対応にできることが分かります。だから、xの因数が6というより、xは6なのです。整数の因数というのは、その整数をかけ算で表したときに出て来る整数全てを言うのが普通です。その整数そのものも含まれますが、それだけに限定できません。

　つまり「xの因数が6」というのは一部分だけしか言っておらず、不正確です。正確には、xが6なのですから、因数は1、2、3、6です。

　もしかすると、その問題と模範解答ではｍ「xの解が6」とを言おうとして、誤って「xの因数が6」としてしまったのかもしれません。

　いずれにせよ、「xの因数が6」というのは、問題と模範解答が不適切、もしくは間違いです。解答者としては、「間違い、少なくとも不適切」としてしまってよく、どうして「xの因数が6」なのかは考える必要はないでしょう。

P.S.

　なお、x＝6が分かった時点で、「答は出た」と思って解くのを終えることはできません。整数はマイナスもあるからです。

　x＝-4だとしてみると、x-1＝-5、x-2＝-6で、x(x-1)(x-2)＝(-4)・(-5)・(-6)＝-120となります。x(x-1)(x-2)＝4・5・6＝120ですから、絶対値は等しいですが正負が違いますので、マイナスの整数では合わないと分かります。

　なお、答がプラスになるためには、正の整数1と負の整数2つ、あるいは、正の整数2つと負の整数1つという可能性がありますが、どちらも0を含んでしまうので、積は必ず0になり、120とはなりません。

　ですので、x＝6だけが答となります。これは三つの（連続した）整数の積であるためです。奇数個のマイナスの数の積はマイナスということですね。

　もし、x(x-1)(x-2)(x-3)=4・5・6・7のように、四つの整数の積だったら、マイナスの整数も答となってきます。偶数個のマイナスの数の積はプラスということですね。

　お示しの問題の類題においては、掛け合わせる数の個数が奇数か偶数かは要注意です。設問において「瞬時に」分かるというのは、整数が三つだということも用いているようです。

回答No.3

shintaro-2

>問　x(x-1)(x-2)=4・5・6の解を求めよ。
という問題において、連続する整数の積の考え方を用いることで瞬時にxの因数は6ということがわかってしまうらしいのですがなぜでしょうか？

Xは連続する３つの数で一番大きい
すなわち、４，５，６の中で６以外にはありえませんが
何を質問されたいのですか？

回答No.2

178-tall

x(x-1)(x-2)=6・5・4 と整形すると … ？

回答No.1

bran111

＞xの因数は6
＞約数ならば因数であるとは必ずしもいえないはずなのに

どういう意味ですか。約数とか因数とかの意味を分かって聞いていますか。

x(x-1)(x-2)=4・5・6

xが整数ならx,x-1,x-2のうち一番大きい数が6だから直ちにx=6は出てきます。

従って

f(x)=x(x-1)(x-2)-4・5・6=x^3-3x^2+2x-120

とすると

f(x)=(x-6)g(x)

となり、割り算すると

g(x)=x^2+3x+20

従ってf(x)=0の解はx=6とg(x)=0の解

x=[-3±√(9-80)]/2=(-3±71i)/2 (iは虚数単位）

を持つということです。