ラプラス変換にe^(-st)が無い

質問

「演習で学ぶ基礎制御工学 (2014年10月6日 新装版第1刷)」を読んでいて、正しい計算なのか誤植なのか分かりません。
以下に引用します：

コンデンサに蓄えらる電荷q(t) [C]と電流i(t) [A]との関係は、
q(t) = ∫[0, t] i(τ) dτ
であるから、
v(t) = (1/C) ∫[0, t] i(τ) dτ ……(3.1.55)
の関係がある。
v(t), i(t)のラプラス変換をそれぞれV(s), I(s)と書くとき、式(3.1.55)は次のようになる：
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) + (1/s) { ∫[0, t] i(τ) dτ } | t=+0 ]

…以上、引用終わり。

これは
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) + (1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ } | t=+0 ]
の誤植でしょうか？
（e^(-st)の有無が違う）

私の計算だと：
v(t) = (1/C) ∫[0, t] i(τ) dτ ……(3.1.55)
L[v(t)] = (1/C) L[ ∫[0, t] i(τ) dτ ]
V(s) = (1/C) ∫[0, ∞] ∫[0, t] { i(τ) dτ } e^(-st) dt
部分積分して
V(s) = (1/C) [ { (-1/s) e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] - ∫[0, ∞] i(τ) (-1/s) e^(-st) dt ]
V(s) = (1/C) [ (-1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] + (1/s) ∫[0, ∞] i(τ) e^(-st) dt ]
V(s) = (1/C) [ (-1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] + (1/s) I(s) ]
比較のために第一項と第二項の順番を変えると
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) - (1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] ]
（第二項が負になりました…もし間違いがあればご指摘下さい）
そして、本に載っているのが以下です：
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) + (1/s) { ∫[0, t] i(τ) dτ } | t=+0 ]

もし本の計算が正しくてe^(-st)を消せる方法があるなら教えて下さい。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

lim_{t→∞}e^{-st}=0
lim_{t→+0}e^{-st}=1
だからe^{-st}が消える

q(t)=∫_{0～t}i(τ)dτ
v(t)=(1/C)∫_{0～t}i(τ)dτ
V(s)=lim_{T→∞}∫_{0～T}e^{-st}v(t)dt
I(s)=lim_{T→∞}∫_{0～T}e^{-st}i(t)dt

V(s)=(1/C)lim_{T→∞}∫_{0～T}∫_{0～t}i(τ)dτe^{-st}dt
=(1/C)[[-(1/s)e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ]_{0～∞}+(1/s)∫_{0～∞}e^{-st}i(t)dt]
=(1/C)[[-(1/s)e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ]_{0～∞}+(1/s)I(s)]
=(1/C)[(1/s)I(s)-(1/s){e^(-st)∫[0, t]i(τ)dτ}[0, ∞]]

-(1/s){e^(-st)∫[0, t]i(τ)dτ}[0, ∞]
=
-(1/s)[lim_{t→∞}e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ-lim_{t→+0}e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ]
↓lim_{t→∞}e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ=0だから
=
-(1/s)[-lim_{t→+0}e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ]
=
(1/s)lim_{t→+0}e^{-st}∫_{0～t}i(τ)dτ
↓lim_{t→+0}e^{-st}=1だから
=
(1/s){∫_{0～t}i(τ)dτ}t=+0
だから
↓
V(s)=(1/C)[(1/s)I(s)+(1/s){∫_{0～t}i(τ)dτ}t=+0]

お礼

お陰様で理解できました。中途半端なところで計算を止めているんですね。次の計算でt=0の場合を計算するために、わざと中途半端なところで止めていると悟りました（私は今まで何も考えずにt=0を代入してゼロにしていました）。第二項が負になるのも正しかったんですね。良かったです。非常に分かりやすかったです。ありがとうございました！