偏導関数の連続性の証明について

質問

記号の説明
Ball[(a,b),r):={(y,z)∈C^2;|(a,b)-(y,z)|<r}, Disc[a,r):={y∈C;|y-a|<r}。

[Claim] Y,Z⊂Cとし,z_0∈Zとする。複素関数f∈Map(Y×Z,C)は連続とする。
もし,g(y):=∃lim[z→z_0](f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)∈Map(Y,C)ならgはYで連続となる。
[Proof]
h(y,z):=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0) (z≠z_0の時), g(y) (z=z_0の時)
と置くと,hはY×Zで連続であるから
任意のy∈Y,0<εについてh(Ball[(y,z_0),δ_{y,ε})⊂Disc[h(y,z_0),ε)なる0<δ_{y,ε}が存在する.
これは
任意のy∈Y,0<εについてg(Ball[(y,z_0),δ_{y,ε})⊂Disc[g(y,z_0),ε)なる0<δ_{y,ε}が存在する.
と書き換えれる。
よってgはYで連続となる。 (終)

としたのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.4

jcpmutura · ベストアンサー

例えばfを
f(y,z)={(z-y)^2}sin{1/(z-y)},(y≠zの時)
f(y,y)=0
と定義すると
y≠z_0の時
g(y)=2(z_0-y)sin{1/(z_0-y)}-cos{1/(z_0-y)}
g(z_0)=0
となって
gはy=z_0で連続でない

お礼

ご回答大変ありがとうございます。

つまり,下記の命題は"偽"なのですね。。。

[Claim] Y,Z⊂Cとし,z_0∈Zとする。複素関数f∈Map(Y×Z,C)は連続とする。
もし,g(y):=∃lim[z→z_0](f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)∈Map(Y,C)ならgはYで連続となる。

回答No.5

jcpmutura

訂正します
#4
のfの定義域Y×Zは
Y=Z=R=(全実数)でした
Y=Z=Rとしても
命題の条件Y,Z⊂C
には適合しているのでその命題は偽だと思います。

Y=Z=R⊂C
f:Y×Z=R×R→R⊂C
f(y,z)={(z-y)^2}sin{1/(z-y)},(y≠zの時)
f(y,y)=0
と定義すると
y≠z_0の時
g(y)=2(z_0-y)sin{1/(z_0-y)}-cos{1/(z_0-y)}
g(z_0)=0
となって
gはy=z_0で連続でない

回答No.3

jcpmutura

例えば
f(y,z)=z,(y≠0の時)
f(0,z)=0
z_0=0
とすると
fはy=0で不連続だけれども
g(y)=1,(y≠0)
g(0)=0
g∈Map(Y,C)
が成立する

a≠0の時
lim[z→z_0=0]h(a,z)
=lim[z→z_0=0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)
=lim[z→z_0=0]z/z
=1
=∂/∂zf|_{z=z_0=0}(a)

a=0の時
lim[z→z_0=0]h(0,z)
=lim[z→z_0=0](f(0,z)-f(0,z_0))/(z-z_0)
=lim[z→z_0=0]0/z
=0
=∂/∂zf|_{z=z_0=0}(0)
だから
lim[z→z_0]h(a,z)=lim[z→z_0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)=∂/∂zf|_{z=z_0}(a)
for∀a
が成立するけれども

ε=1
a=0
z_0=0
とすると
任意のδ_{a,ε}>0に対して
0<|(y,z_0)-(a,z_0)|<δ
y≠0となるyが存在して
h(y,z_0)=1
∂/∂zf|_{z=z_0}(a)=0
だから.
|h(y,z_0)-∂/∂zf|_{z=z_0}(a)|=1≧1=ε>0
だから
「
∀(a,ε)∈Y×R^+に対して,
0<|(y,z)-(a,z_0)|<δ_{a,ε}
⇒
|h(y,z)-∂/∂zf|_{z=z_0}(a)|<εなるδ_{a,ε}>0が存在する。
」
とはいえないから
「
lim[z→z_0]h(a,z)=lim[z→z_0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)=∂/∂zf|_{z=z_0}(a)
for∀a
」
だけから
「
∀(a,ε)∈Y×R^+に対して,
0<|(y,z)-(a,z_0)|<δ_{a,ε}
⇒
|h(y,z)-∂/∂zf|_{z=z_0}(a)|<εなるδ_{a,ε}>0が存在する。
」
とはいえません

回答No.2

jcpmutura

fをZ方向だけ連続でY方向で不連続としても
lim[z→z_0]h(a,z)=lim[z→z_0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)=∂/∂zf|_{z=z_0}(a) for
∀a>0
が成り立つので

lim[z→z_0]h(a,z)=lim[z→z_0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)=∂/∂zf|_{z=z_0}(a) for
∀a>0
だけから
「
∀(a,ε)∈Y×R^+に対して,
0<|(y,z)-(a,z_0)|<δ_{a,ε}⇒|h(y,z)-∂/∂zf|_{z=z_0}(a)|<εなるδ_{a,ε}>0
が存在する。
」
とはいえません。

fがY×Zで連続という仮定
と
lim[z→z_0]h(a,z)=lim[z→z_0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)=∂/∂zf|_{z=z_0}(a) for
∀a>0
の
両方を使わなければいけません
例えば
|(y,z)-(a,z)|+|(a,z)-(a,z_0)|<δ_{a,z_0}
となるような…

回答No.1

jcpmutura

h(y,z)=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)(z≠z_0の時)
h(y,z_0)=g(y)
と置くと
z≠z_0の時hはY×Zで連続であるけれども
z=z_0の時
「hはY×Zで連続である」が証明されていません
「
任意のa∈Yについて
任意のε>0に対して
あるδ_{a,z_0}>0が存在して
0<|(y,z)-(a,z_0)|<δ_{a,z_0}となる任意の(y,z)に対して
|h(y,z)-h(a,z_0)|
=|{f(y,z)-f(y,z_0)}/(z-z_0)-g(a)|<ε
」
が証明されていません

任意のy∈Yについて
任意のε>0に対して
あるδ_{y,z_0}>0が存在して
0<|z-z_0|<δ_{y,z_0}となる任意のzに対して
|h(y,z)-h(y,z_0)|
=|{f(y,z)-f(y,z_0)}/(z-z_0)-g(y)|<ε
とはいえます

補足

ご回答誠に有難うございます。

> z=z_0の時
> 「hはY×Zで連続である」が証明されていません

これについては,仮定から
lim[z→z_0]h(a,z)=lim[z→z_0](f(a,z)-f(a,z_0))/(z-z_0)=∂/∂zf|_{z=z_0}(a) for∀a>0
なのでlimitの定義からこの事は
∀(a,ε)∈Y×R^+に対して,
0<|(y,z)-(a,z_0)|<δ_{a,ε}⇒|h(y,z)-∂/∂zf|_{z=z_0}(a)|<εなるδ_{a,ε}>0が存在する。
これは
|(y,z)-(a,z_0)|<δ_{a,ε}⇒|h(y,z)-∂/∂zf|_{z=z_0}(a)|<εなるδ_{a,ε}>0が存在する.
とも言えるので,
hはY×{z_0}でも連続。従って,Y×Zで連続。

これでいかがでしょうか?