写像の連続性について
- 写像の連続性についての証明方法を求めています。
- ZからYへの任意の写像fが連続であることを証明したいですが、f^(-1)の様子がわからず困っています。
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写像の連続性について
(Z,d)から任意の距離空間(Y,d_Y)への任意の写像fが連続であることを証明したいです。 ただし、Zは整数全体の集合でd(x,y)=|x-y|です。 任意の写像fの連続性について証明するのでYの任意の開集合Oについてf^(-1)(O)がZの開集合であることを示そうと考えたのですが、fが任意なのでf^(-1)もどのような様子かわからず困っています。 以下、自分の回答を掲載します。間違えている点と、どのように考えるべきかを教えてください。 任意のx,y∈Zに対しf(x),f(y)が存在する。 Oは開集合なのであるε(>0)が存在し、 f(y)∈N(f(x);ε)⊂O ⇔ y∈f^(-1){N(f(x);ε)}⊂f^(-1)(O) ここまでです。よろしくお願いします。
- gorillamatsui
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>Yの任意の開集合Oについてf^(-1)(O)がZの開集合であることを示そうと考えた これにそっていきますか。では次を使いましょう： 距離空間の部分集合Aが開集合である必要十分条件は、任意のAの元aに対して、ある正の数ε＞０が存在し aを中心とするε-ball B(a:ε)がAに含まれることである。 （元の問題に戻って） 任意のf^(-1)(O)の元をxとしましょう。B(x:ε)⊂f^(-1)(O)となるような、ε＞０が選べればOkです。 以下はヒントです：εを十分小さくとればB(x:ε)＝｛x｝となるはずです、、、。（その理由を示せば証明終わりです）
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お礼
ご回答ありがとうございます。 εを取るだけでよかったんですね^^ 連続の定義をε-δで初めに勉強したので任意の写像に対しても「解析的に逆算できるのでは。」と考えていました。