一様連続の証明について

質問

度々すみません。
またお世話になります。よろしくお願いします。

定理：『閉区間〔a,b〕で定義された連続関数は一様連続である。』
の証明についてです。

一様連続とは
「任意のε>0に対してδ>0が存在して、｜x－y｜<δを満たす区間内の
全てのx、yに対し、｜f(x)ーf(y)｜<εが成り立つ。」
ということですので、

背理法でこの定理を証明する場合は
「あるε>0において、どのようなδ>0に対しても｜x'-y'｜<δ
かつ｜f(x')-f(y')｜≧ε　x'、y'∈〔a,b〕となるx'、y'が存在する。」・・・（※）
ことの矛盾を導けばよいのですが、

ここで以下のサイトの命題４、１を見てください。

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q=%E4%BA%95%E4%B8%8A%E6%B7%B3%E3%80%80%E4%B8%AD%E9%96%93%E8%A9%A6%E9%A8%93%E3%80%80%E8%AC%9B%E7%BE%A9%E5%86%85%E5%AE%B9%E3%80%80%E6%96%B0%E3%81%97%E3%81%84%E5%B9%B4&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

これは私が勉強している参考書「微分積分学　難波誠著」と同じ証明方法ですが、
見て分かる通り、この証明は部分列や「ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理」を用いたりしてとても複雑です。

ですが私には部分列などを使う必要性が理解できません。

私の考えた証明はこうです。

『あるε>0に対して、δ>0を0に近付けていくと
｜xーy｜<δにおいて｜x－y｜も0に近づく。
この時閉区間〔a,b〕にある点cにx、ｙが共に近づく
と考えてよい。（δ→0でx、y→ｃ）
そしてこの時
｜f(x)ーf(y)｜→｜f(c)ーf(c)｜＝0　（δ→0）
これは｜f(x)ーf(y)｜≧ε>0
に反するので題意の定理は証明された。』

ずいぶん簡単ですが、
おそらくどこかに誤りがあるのだと思います。

どこに誤りがあるか分かる方、いらっしゃいましたら
ご指摘よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>おそらくどこかに誤りがあるのだと思います。

ありますね。そもそもリンク先の証明は
あなたのいう「c」が本当にあるのかということを
議論しているわけで，
実際にはそんな都合のよい「c」なんかあるとはいえず，
その状況下で評価してるわけです．
リンク先の証明は複雑でもなんでもなく
頻繁に使われる手法です．
つまり
・条件からとりあえず列を構成
・収束する部分列の存在を示す
（ここにBolzanoとかいろいろ手法がある）
・その部分列だけで考える
という流れです．

具体的には
>｜xーy｜<δにおいて｜x－y｜も0に近づく。
>この時閉区間〔a,b〕にある点cにx、ｙが共に近づく
>と考えてよい。（δ→0でx、y→ｃ）
ここが間違い．
引き算したものが0にいくからといって
そもそもそれぞれが収束するとは限らない．
例：xn=1/n+(-1)^n yn= (-1)^n
xn-yn=1/n -> 0
xnとynがうまく閉区間[a,b]に入るように調整するのは容易です．

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

>引き算したものが0にいくからといって
そもそもそれぞれが収束するとは限らない．

なるほど～。
関数をわざわざ数列に直すのがどうしても納得できなかったのですが、
x、yの収束値の存在するとは限らないという事情があったのですね。

例まで示して下さり、大変よく分かりました。
連休中ずっと考えていたのに分からなかったのですが、
解決に近付いてきました。
どうもありがとうございました。

すみません、あともう一点なのですが、
この定理の証明は、区間が開区間では成り立たないので、閉区間であることが重要ですが、
「ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理」は「有界な数列は収束する部分列を持つ」という定理ですが、
有界列というのはxn∈(a,b)のように開区間の範囲内でもよかったと思います。
命題4、1の証明法は閉区間〔a,b〕を開区間(a,b)と置き換えてもそのまま成り立つような気がします。
この証明では閉区間限定という条件をどこで使っているのでしょうか？

お手数でしょうが、よろしくお願い致します。

補足

分かりやすいように新しい質問を立てました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3992571.html?ans_count_asc=20

お時間がありましたらまたよろしくお願いします。
この度はどうもありがとうございました。