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続、２変数関数の極限

2001/06/21 23:34

oodaikoの回答

oodaiko
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2001/07/06 00:06 回答No.16

oodaikoです。 rabbieさん＜本来なら私が解説すべきところを、私よりわかりやすい解説を書いていただいてありがとうございます。私がまた余計なことを書いて質問者を混乱させるよりこのままrabbieさんにお任せしてしまおうかとも思いましたが、やはりこれだけいろいろ書いてしまった以上、人に尻拭いをさせるのもナンなので… ********************************************************************* まず重大なミスをやってしまいました。回答1での距離の同値性についての記述＞距離dとd'が同値であると言うのは、ある定数Ｍがあって、常に＞d≦Md' となると言う意味です。は私のミス。この記述は間違いです。この定義だけでは taropooさんのNo.94815での疑問＞「d≦Md'のときd'≦M'd」と言えるのかは言えません。正しくは距離dとd'が同値であると言うのは、ある定数ＭとＮがあって、常に Nd'≦d≦Md' となると言う意味です。でした。こうすれば別の定数Ｍ'とＮ'をとって N'd≦ d'≦M'd となることもすぐわかりますね。またtaropooさんが疑問に思われた日本語としての意味合いにも一致しますね。 ************************************************************************* 回答1の補足質問＞ rがpへ近付く近付き方によらず収束するというのは＞＞（Ｂ）「任意のε＞ 0に対し、あるδ_1,δ_2,…,δ_n があって＞（以下略）＞とありますが何故こう言えるのですか？私の感覚だと、rがpへ近付く近付き方によらず収束するとは＞「r = φ(t)として、lim{t→t0} φ(t) = pを満たす任意のφ(t)についてlim{t→t0} f(φ(t)) = K」＞という事だと思うのですが結局どちらでも同じことですヨ。 taropooさんの書いた「r = φ(t)として、lim{t→t0} φ(t) = pを満たす任意のφ(t)についてlim{t→t0} f(φ(t)) = K」と言う条件を〈条件Ｔ〉としておきます。あとで利用しやすいように〈条件Ｔ〉をε-δ式で書いておくと〈条件Ｔ〉「『任意のε_0 ＞ 0に対し、あるδ_0＞ 0があって |t - t0 | ＜ δ_0ならば |φ(t) - p|＜ ε_0』と言う条件を満たすならば、任意のε＞ 0に対し、あるδ＞ 0があって『 |t - t0 | ＜ δ ならば | f(φ(t)) - Ｋ| ＜ ε』となる」となります。さて、回答No1の中で書いたように（Ｂ）と（Ａ）の条件は同値です。またいちいちNo1を読み返すのは煩わしいのでもう一度条件（Ａ）も書いておきます。（Ａ）「任意のε＞ 0に対し、あるδ＞ 0があって |r - p | ＜ δ ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる」そして〈条件Ｔ〉と（Ａ）も同値です。 [証明]：条件（Ａ）⇒〈条件Ｔ〉：関数fは（Ａ）の条件を満たすとします。 φ(t)は、lim{t→t0} φ(t) = pを満たす任意の曲線とします。 lim{t→t0} φ(t) = p というのはε-δ式で書くと、〈Ｔ-１〉「任意のε_0＞ 0に対し、あるδ_0＞ 0があって『|t - t0 | ＜ δ_0ならば |φ(t) - p|＜ ε_0』」ということです。さて任意のε＞ 0に対し、条件（Ａ）を満たすようなδを取ります。〈Ｔ-１〉よりこのδに対して『|t - t0 | ＜ δ_0ならば |r - p| = |φ(t) - p|＜ δ』となるようなδ_0が存在します。従って（Ａ）より『|t - t0 | ＜ δ_0 ならば | f(φ(t)) - Ｋ|=| f(r) - Ｋ| ＜ ε』が言えます。 ------------------ 〈条件Ｔ〉⇒条件（Ａ）：関数fは〈条件Ｔ〉を満たすとします。〈条件Ｔ〉の特例としてφ(t)=p+ta （aはpを始点とする適当な単位ベクトル）とおき、t0=0とします。するとこのφ(t)は lim{t→t0} φ(t) = p を満たしますから〈条件Ｔ〉より任意のε＞ 0に対し、あるδがあって『 |t - t0 |= |t| ＜ δ ならば | f(r) - Ｋ| = | f(φ(t)) - Ｋ| ＜ ε』となることが言えます。またφ(t)の形から『|r - p| = |φ(t)-p|＜δならば|t| = |t - 0 | ＜δ』であることも明らかです。従って『|r - p| = |φ(t)-p|＜δならば| f(r) - Ｋ| = | f(φ(t)) - Ｋ| ＜ ε』すなわち条件（Ａ）が言えます。　　　　　　　　　　　　　　　　■ ------------------------------------------------------------------ ＞すると(B)⇒(B')は言えますけど、(B')⇒(B)を言うためには＞δ=min(δ_1,δ_2,…,δ_n ) ＞である必要があるのではないでしょうか？これはrabbieさんがNo.14で書かれたました。＞=min(...)とするところを単純に書き間違えたのでしょうその通りです。私のミスタイプでした。 *************************************************************************** 回答11の補足質問＞この(c)って特定の１つで良いのでしょうか、任意の数についてなのでしょうか？当然任意の数についてです。＞多変数関数が極限値を持つかどうかの判定法なんて２～３世紀前に発見されてても＞良さそうな気がするのですが当然のことですが数学者にsigmund条件が極限を持つかどうかの判定法となり得るか？と聞けばすぐにrabbieさんの回答のような答が返ってくることでしょう。教科書などにそのような判定法のことが書いてないとすれば、実際問題としてあまりそういう判定法など必要とされていないと言うことではないでしょうか。このことについては自信なしです。 *************************************************************************** 回答15の補足質問＞siegmundの条件(a)の段階で、上の一様収束の定義で言うベクトルａは任意ではなくなり、＞一意に決まってしまいます。それに「一様に収束する」という条件を付けるとは？という＞のが私の疑問です。私が書いたのは個別にではなく一まとめにしての意味でしたが、ちょっと誤解を招きかねない書き方でしたね。そもそもsigmund条件と言うのが本質的に同じ内容のことを場合分けして書いているに過ぎないので、(a)(b)(c)などと分けずに一まとめにして言ってしまえれば誤解の余地もなかったと思います。 sigmund条件(a)(b)(c)を一まとめにして言えば原点を通る任意の直線をlとする。(x,y)がlに近付きつつ(x,y)→(0,0)となる時に f(x,y)はlによらず同じ極限値Ｋを持つ。と言うことです。この条件はNo11で書いた条件〈条件Ｓ'〉「任意のα（0≦α＜ 2π）に対して lim_{r→0,θ→α} f(r,θ) ＝Ｋ」と同じです。そして私が「一様に」と書いたのはこの〈条件Ｓ'〉における f(r,θ）の収束がαによらず一様であると言う意味です。