- ベストアンサー
２変数関数の極限の証明
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
前のご質問でも似たような問題を考えられていましたが、とにかく0に収束する因子と有界な因子の積に分解するような式変形をするのが目標です。 |xy/(x^2+y^2)|≦2なら√をとって、|√(xy)/√(x^2+y^2)|≦√2なのだから、 |f(x,y)|=√(xy)×|√(xy)/√(x^2+y^2)| となりますよね。第1項は0に収束して、第2項は有界だからf(x,y)も0に収束するわけです。
関連するQ&A
- 続、２変数関数の極限
q=91590に絡んだ質問です。 『f(x,y)が(x,y)→(x0,y0)の時aに収束するとは 任意のε>0に対し、あるδがあって |(x,y) - (x0, y0)|<δについて|f(x,y) - a|<ε となる事である。』 が２変数関数の極限の定義である事は分かるのですが、 これって(x,y)→(x0,y0)の近付き方によらず一定値aに収束するって事ですよね？ でも例えば lim (xy + x)/(x+y) (x,y)→(0,0) って先にx→0ってすると0、先にy→0ってすると1で、値が異なりますよね。 こう言うのは上の定義に当てはまらないから収束しないと考えていいんですか？これが一つ目の質問。 上の例が収束しないとすると、収束するかどうかはどう見極めればいいのでしょう？ q=91590でsiegmundさんがおっしゃっていた (a) |y/x| → 0 としながら，x,y → 0 (b) |x/y| → 0 としながら，x,y → 0 (c) |y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0 で同じ値になったら収束すると判断していいのはどう言う関数なのでしょうか？ そしてそれは何故なのでしょうか？ 他にどういう例があるのでしょうか？ 前回のURL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=91590
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の証明 （２変数）
２変数関数において、 lim x = a (x,y)→(a,b) となることをεδ法で証明しなさい。 以下教科書に載っていた答え↓ _______________________________________ どんな実数ε＞０においても、 ０＜√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜δのとき、 ｜x - a｜<ε が成り立つとような δが存在することを示せばよい。 まず、 √{(x-a)^2+(y-b)^2} ＞ √{(x-a)^2}＝｜x - a｜ といえる。 よって、δ＝εとすれば、 ０＜√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜δのとき、 ｜x - a｜＝√{(x-a)^2}＜√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜ε が成り立つので、証明できたといえる。 ________________________________________________ このようになっていたのですが、 この証明の中の、 √{(x-a)^2+(y-b)^2} ＞ √{(x-a)^2} この不等式の不等号は、 何故「以下“>=”」ではなく「未満“>”」にしているのでしょうか？ ｙ＝ｂであれば、 √{(x-a)^2+(y-b)^2}＝√{(x-a)^2}といえるとおもうのですが・・・。 「以下」にしない理由を知っている方がいたら教えてください。 （それとも、教科書が間違っているのでしょうか？）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)
以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが 計算結果が正しいか自信がありません。 わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。 【問題】 次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。 (1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。 (2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。 (3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。 (4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。 (5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0 上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。 (6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1 上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。 (7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。 (8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2) まず、x→yの順に近づける。 lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0 次に、y→xの順に近づける。 lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0 上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。 よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。 もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。 以上、ご指導のほどよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２変数関数の極限について
D：ｆの定義域 有限な極限値limf(P) (P→P_0）が存在するための条件は、P_0に収束するどんな点列｛P_n｝（ただし、P_n∈D、P_n≠P）に対しても、数列{ｆ（P_n）}が収束することである。 これを示してください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
２回も私の質問に答えていただきありがとうございます。収束する因子と有界な因子の積に分解すると解けますね。とても勉強になります。ありがとうございました。２回とも20ptいれときます！