続、２変数関数の極限

質問

q=91590に絡んだ質問です。

『f(x,y)が(x,y)→(x0,y0)の時aに収束するとは
任意のε>0に対し、あるδがあって
|(x,y) - (x0, y0)|<δについて|f(x,y) - a|<ε
となる事である。』

が２変数関数の極限の定義である事は分かるのですが、
これって(x,y)→(x0,y0)の近付き方によらず一定値aに収束するって事ですよね？
でも例えば

lim (xy + x)/(x+y)
(x,y)→(0,0)

って先にx→0ってすると0、先にy→0ってすると1で、値が異なりますよね。
こう言うのは上の定義に当てはまらないから収束しないと考えていいんですか？これが一つ目の質問。

上の例が収束しないとすると、収束するかどうかはどう見極めればいいのでしょう？
q=91590でsiegmundさんがおっしゃっていた
(a)　　|y/x| → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　|x/y| → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0
で同じ値になったら収束すると判断していいのはどう言う関数なのでしょうか？
そしてそれは何故なのでしょうか？

他にどういう例があるのでしょうか？

前回のURL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=91590

回答No.5

rabbie

rabbie です。
背理法で証明できそうです。

証明するのは、
(x, y) が (a), (b), (c) のどれかを満たしながら -> (0, 0) となる時、その全ての場合で
f(x, y) -> 0 ならば、(x, y) -> (0, 0) で　f(x, y) -> (0, 0) である。
(fの収束値はゼロでなくてもいいのですが簡単のため。)

の対偶で,

(x, y) -> (0, 0) の時、f(x, y) -> 0
でないならば、(a),(b),(c)のどれかを満たしながら(x,y)->(0,0)としてもf(x,y)->0
とならないことがある。
です。（これであってますよね）

＜証明はじめ＞
関数 f(x, y) は、(x, y) -> (0, 0) の時、f(x, y) -> 0 ではないとします。

まず、局座標表示で、x = r sinθ, y = r cosθとする。
(r > 0, 0 <= θ < 2π)　以下、面倒なので f(r, θ) のように書きますが、
これは f(r cosθ, r sinθ) のことです。

このとき、(x, y) -> (0, 0) の時、r -> 0 であり、さらに f -> 0 でない
というのは、

(σに依存しない)ε > 0 が存在して、任意のσ>0 に対して、
r < σ かつ |f(r,θ)| > εを満たす点(r,θ) が選べる。

となります。

さらに次のような点列 A_n を考えます。

まず、上のようなε>0 を固定します。σ=1 として上のことを当てはめると
r_0 < 1 かつ |f(r_0,θ_0)| > ε となる　(r_0, θ_0) が存在し、
この点を A_0 とします。

次に σ=r_0/2 としてまた同じことをすると　r_1 < r_0/2 (< 1/2)かつ
|f(r_1,θ_1)| > ε となる　(r_1, θ_1) が存在し、この点を A_1 とします。

順次A_n(r_n,θ_n)を　r_n < r_(n-1)/2 (<1/2^n)かつ
|f(r_n,θ_n)| > ε となるようにとる。

この点列 A_n は (0,0) に収束し、かつ |f(A_n)| > ε なので f(A_n) -> 0 でない。

次に、数列 {θ_n}を考えると、これは有限区間 [0, 2π) 内の無限数列なので、
無限回同じ値をとるか、区間 [0, 2π]に集積点をもつ(*1)。
どちらの場合も、{θ_n} の部分列で[0, 2π]内の一点に収束するものが選べ(*2)、
この収束値をαとします。点列{A_n}からこの部分列を作る点だけを取り出して改めて
点列を作り直し{A_m}とおきます。
点の順番を入れ替えなければいいので相変わらず{A_m}->0 で、かつ f(A_m) -> 0 でない。

ここでx,y座標表示に戻って、点列{A_m(x_m, y_m)}を見てみますと、
もちろん A_m -> 0 (m->∞)で、α = π/2 または 3π/2 ならば、
|x_n/y_n| = |cosθ_n/sinθ_n| = 1/tanθ_n -> 0 (b)(*3)
それ以外で、
|y_n/x_n| = |sinθ_n/cosθ_n| = tanθ -> tanα (a)または(c)

つまり、{A_m}は、m->∞の時 (a)(b)(c)のどれかを満たしながら ->O(0,0) だが、この時
f(A_m) -> 0 ではない。

(*3){θ_n}の部分列を選ぶ時、無限回π/2 または 3π/2 だけをとる数列を選んだ場合は,{A_m}は
y軸上を(0, 0)に向かって動くのでやはり(b)の場合になります。

(*1)(*2)の証明はほかの人に譲ります
＜証明終わり＞

大きな過ちがあったら恥ずかしいのですがどうでしょうか。
チェックお願いします。