続、２変数関数の極限

質問

q=91590に絡んだ質問です。

『f(x,y)が(x,y)→(x0,y0)の時aに収束するとは
任意のε>0に対し、あるδがあって
|(x,y) - (x0, y0)|<δについて|f(x,y) - a|<ε
となる事である。』

が２変数関数の極限の定義である事は分かるのですが、
これって(x,y)→(x0,y0)の近付き方によらず一定値aに収束するって事ですよね？
でも例えば

lim (xy + x)/(x+y)
(x,y)→(0,0)

って先にx→0ってすると0、先にy→0ってすると1で、値が異なりますよね。
こう言うのは上の定義に当てはまらないから収束しないと考えていいんですか？これが一つ目の質問。

上の例が収束しないとすると、収束するかどうかはどう見極めればいいのでしょう？
q=91590でsiegmundさんがおっしゃっていた
(a)　　|y/x| → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　|x/y| → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0
で同じ値になったら収束すると判断していいのはどう言う関数なのでしょうか？
そしてそれは何故なのでしょうか？

他にどういう例があるのでしょうか？

前回のURL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=91590

回答No.2

oodaiko

さて２つ目の質問ですが、

どんな関数でも siegmund先生の条件(a)(b)(c)で同じ値に収束すれば必ず収束する、
と言い切れるのか、
それとも(a)(b)(c)で同じ値に収束してもなお関数自体は収束しないような反例があるのか
これについては恥ずかしながら私もまだ完全にわかっていません。
（なんとなく反例があるような気がするのですが……）
とりあえず今まで考えたことだけをまとめておきます。

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まず
「すべての方向から同じ極限値Ｋに「一様に」近付くならば
関数の極限値は存在し、それはＫである。」
ということがいえます。

ここで「一様に」というのは重要な条件です。この条件が満たされないと、関数の極限値
が存在することは保証されません。「一様に」の意味は下の命題のところで解説します。
また「一様」でない場合に関数の極限が存在しない例も後述します。（＊１）

例によって一般のn次元に関する命題として証明しましょう。

[命題]
f(x_1,x_2,…,x_n)はn次元ユークリッド空間 R^n 上の実数値関数とし、
Ａは R^nの点p = (p_1,p_2,…,p_n) を中心とする単位ベクトルの集合とする。
すなわち Ａ=｛(x_1,x_2,…,x_n)∈R^n |　|(p_1,p_2,…,p_n) - (x_1,x_2,…,x_n)| =1｝

このとき、ある定数Ｋがあって、任意のa ∈Ａ に対して
一様に lim_{s→0} f(p + sa) ＝ Ｋ （sは正の実数） ……（Ｎ）
が成り立つならば
lim_{r→p} f(r)＝Ｋ ………………（Ｃ）
である。

ただし
「一様に lim_{s→0} f(p + sa) ＝Ｋ となる」とは
任意のa∈Ａと任意のε＞0に対しある（aによらない）δ＞0 が存在し、0＜ s＜δなら
｜f(p + sa )－Ｋ|＜ε
となる。と言う意味です。
（各aに対する極限値の存在を言うだけなら、δの値は一般にaに依存しても構わないので
これは極限値の存在だけを言うよりは強い条件です。）

この条件（Ｎ）がsiegmund先生の条件(c)の特例であることはおわかりですね。
しかしsiegmundの条件(c)では「一様性」が仮定されていません。そこでこの条件は
siegmundの条件より限定されたものになります。
（更にいうならば条件(c)にはx軸およびy軸方向から近付く場合が含まれていませんが、
これは条件(a)(b)の中に含まれています。）

[証明]（Ｎ）の条件から（Ｃ）を示します。
（Ｎ）より任意のε＞0と任意の a∈Ａ に対し、あるδ＞0が存在して
0＜s＜δならば、| f(p + sa)－ Ｋ |＜ε である。

そこで任意のε＞0に対し、上の条件を満たすようなδをとる。
また |r - p|＜δならあるa∈Ａと0＜ s ＜δによってr = p + sa と書ける。
ところがδの取り方より、すべてのa∈Ａに対し、0＜ s ＜δならば、| f(p + sa)－ Ｋ |＜ε
であるから、これは
「|r - p |＜δ ならば | f(r)－ Ｋ |＜ε」
を意味する。すなわち
lim_{r→p} f(r)＝Ｋ 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　■

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siegmundの条件(a)(b)(c)にそれぞれ「一様に収束する」という条件をつければ
上の命題に帰着しますが、そうでない場合にどうなのかということはまだわかりません。

（＊１）さて収束が方向によって一様でない場合は、すべての方向から同じ極限値に収束
したとしても、関数自体の極限値が存在するとは限らない。という例を見ましょう。
２変数で考えます。

f(x,y) = (y^2/x)× sin ( 1/(x^2 + y^2) ) （x≠0 かつ x ≠0 の時）
　　　　= 0 　　 　　　　　　 （x=0またはy=0の時）

と定義します。
この関数は任意の実数aについてy = axに沿ってx→0とすれば同じ極限値0に収束します。
y軸の場合は最初から0ですからやはり0に収束します。
しかし収束の仕方は「一様」ではありません。
そして関数の(0,0)における極限も存在しません。
なぜならば、直線にそって近付く場合はいつでも0に収束しますが
例えばy=√x に沿って近付くとすると
f(x,y) = sin (1/(x^2 + x) )でこれはx→0での極限値を持たないので
結局
lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y)
は存在しません。
もちろんこの関数はsiegmund先生の条件(b)を満たしていないので
siegmund先生の条件に対する反例とはなりません

今はここまで。

補足

> siegmundの条件(a)(b)(c)にそれぞれ「一様に収束する」という条件をつければ
一様に収束するとはどの方向から近付いても同じと言う事で、(a)(b)(c)はそれぞれの方向から近付く事を意味していて、そもそも相反する事を言っている様に思えるのですが。