続、２変数関数の極限

質問

q=91590に絡んだ質問です。

『f(x,y)が(x,y)→(x0,y0)の時aに収束するとは
任意のε>0に対し、あるδがあって
|(x,y) - (x0, y0)|<δについて|f(x,y) - a|<ε
となる事である。』

が２変数関数の極限の定義である事は分かるのですが、
これって(x,y)→(x0,y0)の近付き方によらず一定値aに収束するって事ですよね？
でも例えば

lim (xy + x)/(x+y)
(x,y)→(0,0)

って先にx→0ってすると0、先にy→0ってすると1で、値が異なりますよね。
こう言うのは上の定義に当てはまらないから収束しないと考えていいんですか？これが一つ目の質問。

上の例が収束しないとすると、収束するかどうかはどう見極めればいいのでしょう？
q=91590でsiegmundさんがおっしゃっていた
(a)　　|y/x| → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　|x/y| → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0
で同じ値になったら収束すると判断していいのはどう言う関数なのでしょうか？
そしてそれは何故なのでしょうか？

他にどういう例があるのでしょうか？

前回のURL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=91590

回答No.1

oodaiko

oodaikoです。taropooさんの先の質問91590の
＞(a)(b)(c)の極限値が一致すればいかなる方法で近付いても極限が存在するとかでしたら、
＞その証明を載せていただける…
に回答しようと考えていたのですがちょっと難しい部分があって、考えている内に締め切ら
れてしまいました。
再質問が出たので質問91590に関することで、今まで考えたことを今回の質問内容に絡めて
書いておきます。

まず今回御質問の１つ目ですが、おっしゃる通り
２変数関数 (xy + x)/(x+y)
で (x,y)→(0,0) とした場合の極限値は存在しません。
それは質問に書かれている通り、極限の定義に当てはまらないからです。

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・まず多変数関数の極限の定義についてまとめておきます。

少し一般化してn変数関数について考えてみましょう。
(x_1,x_2,…,x_n)= rと書き、
f(x_1,x_2,…,x_n) = f(r)と書くことにします。
また極限値を求めたい点はp = (p_1,p_2,…,p_n) としておきます。
また、数としての0とゼロベクトルを区別するために、ゼロベクトルはOと書くことにします。

さて
（Ａ）「任意のε＞ 0に対し、あるδがあって
|r - p | ＜ δ ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる」
ときf(r)はpで極限値Ｋに収束する、と定義し、
lim_{r→p} f(r)＝Ｋ ………………（Ｃ）
と書きます。これは２変数の場合においてtaropooさんが
書いた定義と全く同じです。

さて一方
rがpへ近付く近付き方によらず収束するというのは
（Ｂ）「任意のε＞ 0に対し、あるδ_1,δ_2,…,δ_n があって
|x_1 - p_1 | ＜δ_1 かつ |x_2 - p_2 | ＜δ_2 かつ … |x_n - p_n | ＜δ_n
ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる」
ということですね。
注：この定義は δ=max(δ_1,δ_2,…,δ_n ) として
（Ｂ'）「任意のε＞ 0に対し、あるδ があって
|x_1 - p_1 | ＜δ かつ |x_2 - p_2 | ＜δ かつ … |x_n - p_n | ＜δ
ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる」
と書き直せます。どちらでも同値ですから（Ｂ'）の定義の方を使います。

この（Ａ）と（Ｂ）の条件が同値であることは簡単に示せます

（Ａ）⇒（Ｂ）：fが（Ａ）を満たす。すなわち；
任意のε＞ 0に対し、|r - p | ＜ δ ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる
とする
|r - p | ＜ δ というのは
sqrt((x_1 - p_1)^2 + (x_2 - p_2)^2 + … + ( x_n- p_n)^2 ) ＜ δ
のことであり、各項は正ですから、各(x_i - p_1)^2の取り得る最大値はδ^2
すなわち
|x_1 - p_1 | ＜δ かつ |x_2 - p_2 | ＜δ かつ … |x_n - p_n | ＜δ
となります。
すなわちまとめると
任意のε＞ 0に対し、
|x_1 - p_1 | ＜δ かつ |x_2 - p_2 | ＜δ かつ … |x_n - p_n | ＜δ
ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる
と言えるので、（Ｂ'）が言えます。

（Ｂ）⇒（Ａ）：fが（Ｂ'）を満たすとします。
このとき
|r - p |
= sqrt((x_1 - p_1)^2 + (x_2 - p_2)^2 + … + ( x_n- p_n)^2 ) ＜ δ√n
ですからδ'=δ√n とすれば
任意のε＞ 0に対し、|r - p | ＜ δ' ならば |f(r) - Ｋ| ＜ ε となる
と言えます。すなわち（Ａ）を満たします。　　　　　　　　　　　　■

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少々余計な話ですが

・点列の収束についての一般的な話をしておきます。

そもそも
＞rがpへ近付く近付き方によらず
といっても「近付く」とはどういうことかと言う定義をしておく必要があります。
そうしないと関数の「極限値」も定義できません。
こうなると位相空間論の問題ですが、普通のユークリッド空間では「距離」を定義し
点列a_nと定点bの「距離」が0に収束する時、a_n →b と書き、a_n はbに収束する。
と言います。
一般の集合Ｘの距離と言うのは、a,b∈Ｘを引数とする実数値２変数関数で
(1) d(a,b)≧0 、a=b ⇔ d(a,b)＝0
(2) d(a,b)= d(b,a)
(3) d(a,b)+ d(b,c)≧d(a,c) （三角不等式と言います）
の３つの条件を満たすものです。

ユークリッド空間の２点x=(x_1,x_2,…,x_n)と y=( y_1,y_2,…,y_n) の距離は通常
|x-y|= sqrt((x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + … + ( x_n- y_n)^2 )
で定義されます（これをユークリッド距離と言います）が、これだけがユークリッド空間
の距離の唯一の定義というわけではありません。
max{|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|,…,| x_n- y_n|}
も距離になります。（これは通称マンハッタン距離と呼ばます。）
これでおわかりのように（Ａ）の定義は点の収束をユークリッド距離で定義した場合のもの
であり、（Ｂ）の定義は点の収束をマンハッタン距離で定義した場合のものになっています。

実はもっと一般の位相空間論では、「同値な距離による位相は同値である」ということが
いえます。つまり距離dとd'が同値なら、距離dで収束する点列はd'でも収束し、逆も言える
ということです。
なお、距離dとd'が同値であると言うのは、ある定数Ｍがあって、常に
d≦Md' となると言う意味です。
ユークリッド距離とマンハッタン距離が同値な距離であることは明らかですね。
つまり（Ａ）と（Ｂ'）の定義が同値であると言うことは、ユークリッド距離と
マンハッタン距離が同値であると言うことから当然の帰結です。

この辺りのもっと詳しい話は位相数学の適当な入門書を参考にして下さい。そこでわから
ないことがありましたらまた質問して下さい。

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さて元に戻ります。
上で述べたようなことで１つ目の質問に関してはＯＫだと思います。
とにかく普通の距離（ユークリッド距離）に関して収束することが言えれば
「近付き方によらず」収束すると言い切って大丈夫。ということです。
つまりtaropooさんが質問91590で例にだしておられたように螺旋を描きながら
収束点に近付いてもちゃんと収束することが保証されます。
逆に言えば「近付き方によって」極限値が変わるような場合は（少なくとも（Ａ）の定義では）
収束するとは言いません。

さて２つ目の質問に対する回答の前に、収束先を調べるための一般的な判定方法を
１つ書いておきましょう。

もしpからの距離|r-p|だけで決まる関数２つの関数gとhがあって、pの近傍で
（つまりあるt＞0があって|r-p|＜tとなるようなrで）
g(|r-p|)≦ f(r)≦h(|r-p|)
となっており、
|r-p|→0としたときgもhも共にＫに収束するならば
lim_{r→p} f(r)＝Ｋ
と言えます。（証明は簡単なのでやってみて下さい。）

質問91590の（１）に関して回答No.5でrabbieさんが書かれている回答は
まさにこの方法を使っています。

お礼

何か上の方ではもう結論が出たみたいな感じですがtaropoo全然追いついてないです。まず、回答No.1で感じた事から行かせて下さい。
（No.2以降に答えが書いてあったらゴメンナサイ)

まず、

> rがpへ近付く近付き方によらず収束するというのは
> （Ｂ）「任意のε＞ 0に対し、あるδ_1,δ_2,…,δ_n があって
（以下略）

とありますが何故こう言えるのですか？私の感覚だと、rがpへ近付く近付き方によらず収束するとは

「r = φ(t)として、lim{t→t0} φ(t) = pを満たす任意のφ(t)についてlim{t→t0} f(φ(t)) = K」

という事だと思うのですが。tはパラメータですが時間のイメージと考えると「近付く」という感覚とマッチします。
t0は有限な定数でもいいし＋∞でもいいし。

それから

> 注：この定義は δ=max(δ_1,δ_2,…,δ_n ) として

とすると(B)⇒(B')は言えますけど、(B')⇒(B)を言うためには

δ=min(δ_1,δ_2,…,δ_n )

である必要があるのではないでしょうか？でも(B)と(B')が同値である事には疑問はありませんので小さな事ですが。

> 実はもっと一般の位相空間論では、「同値な距離による位相は同値である」ということが
> いえます。

については別質問にした方がいいかなと思ったのでそうしました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=94815
ですので、こちらで教えてください。

あと、

> pの近傍で
> （つまりあるt＞0があって|r-p|＜tとなるようなrで）

ってtを大きく取っちゃえば近くないですよね。これは後で|r-p|→0とするよと言う予告なのでしょうか？

最後の証明はいわゆる「はさみうちの定理」ですよね。
済みません、まだやってないですけど出来ると思うのでやってみます。

補足

とりあえず「位相空間論ってなに？」って言う程度のtaropooの知識の範囲をはるかに超えた議論が執り行われているので
ちゃんとしたお返事にはかなり時間がかかりそうです。

ただ、oodaiko先生の「これで教科書書けるんじゃないの？」というほどの熱心な論旨展開と、それに呼応される皆さんの真剣さに、
質問者冥利に尽きると感謝しております。

内容的なお返事はまたいづれ。