lim[x→∞]f(x)/x＝0の証明です。

質問

<問題>　f(x)は連続関数で，
lim[x→∞]｛f(x+1)－f(x)｝＝0 ならば，
　lim[x→∞]f(x)/x＝0
を証明せよ。

苦手な関数の極限で、なす術がありません。どうか解答をお願いします。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

任意のε>0に対して
あるK>0が存在して
t>Kとなる任意のtに対して
|f(t+1)-f(t)|<ε/2
だからnを任意の自然数とすると
|f(t+1)|-|f(t)|<ε/2
|f(t+2)|-|f(t+1)|<ε/2
|f(t+3)|-|f(t+2)|<ε/2
…
|f(t+n)|-|f(t+n-1)|<ε/2
を加えると
|f(t+n)|-|f(t)|<nε/2
両辺に|f(t)|を加えると
|f(t+n)|<|f(t)|+nε/2
両辺をnで割ると
|f(t+n)|/n<|f(t)|/n+ε/2
↓|f(t+n)|/(t+n)≦|f(t+n)|/n
↓だから
|f(t+n)|/(t+n)<|f(t)|/n+ε/2…(1)

閉区間K+1≦t≦K+2でfは連続だから
閉区間K+1≦t≦K+2でfは有界だから
ある自然数n_0が存在して
K+1≦t≦K+2
となる任意のtに対して
2|f(t)|/ε<n_0
となるから
|f(t)|/n_0<ε/2…(2)
となる
x≧K+2+n_0となる任意のxに対して
int[x-K-1]=n
t=x-n
とすると
x-K-1≧1+n_0
n>n_0…(3)
n≦x-K-1<n+1
K+1≦x-n<K+2
K+1≦t<K+2…(4)
x=t+n
|f(x)/x|=|f(t+n)|/(t+n)
だからこれと(4)と(1)から
|f(x)/x|<|f(t)|/n+ε/2
↓(3)から|f(t)|/n≦|f(t)|/n_0だから
|f(x)/x|<|f(t)|/n_0+ε/2
↓(2)から
|f(x)/x|<ε/2+ε/2
↓
|f(x)/x|<ε
∴
lim_{x→∞}f(x)/x=0

回答No.3

kanemoto_s

解答自体はほぼ出ているので他の方のものをご覧ください。

＞どうか解答をお願いします。

ネット検索をもっと使いましょう
https://www.google.co.jp/?q=lim[x%E2%86%92%E2%88%9E]f(x)/x%EF%BC%9D0
ググれば２番目に回答と思われるものが出てくる

＞苦手な関数の極限で、なす術がありません。

一見、高校レベルの問題と思う人もいるかもしれないが、
lim[x→∞]｛f(x+1)－f(x)｝＝0　→　lim[x→∞]f(x)/x＝0
高校の知識では埒が空かない。
高校レベルでは無理で、ε-δ論法かε-N論法が必要ということに早く気付くというのがまず一つ。大学の問題ならまあε-δ論法かε-N論法と思ってもよいが。

＞苦手な関数の極限
ネットにも問題や解説があるのでしっかり演習しましょう。
苦手意識など持つだけ損だぞ。
http://www.campus.ouj.ac.jp/~suuri/epsilon/epsilon.pdf

ついでに言えば、どう苦手かを書けば、いろいろ助言をしてくれる人が多い。
自分がどういう状態かを書いた方が、自分の認識力も上がってよほど上達できるし、的確なアドバイスを得ることができる。

ε-δ論法かε-N論法を使うことが分かっていたなら、どこで悩んでいたか書くとか、折角他人に聞いているんだから答えだけ聞くというのはもったいないとは思わないかい？
他人に指摘されるのが嫌とか言ってると、どこに行っても通用しないからね。

お礼

参考となるURLなど添えていただき、大いに参考となりました。〇論法はどうも私のレベルではないようですが、詳しくありがとうございます。

回答No.1

tmpname

解法の方針としては、lim[x→∞]｛f(x+1)－f(x)｝＝0から、xが十分大きい方での、f(x)の大きさを評価する。
以下略解を示します。細かい所は一度ご自身で解答を作ってみてください。

lim f(x+1)－f(x)｝＝0から、任意の正実数eに対し、ある実数Aがあって、x≧Aなら-e≦f(x+1)-f(x)≦eである。
ちょっと記号を変え、y≧A+1なら-e≦f(y) - f(y-1)≦eである。

さて、min {f(x)| A≦x≦A+1} = m, max{f(x)| A≦x≦A+1} = Mとおく（一応確認ですが、min, maxが存在する理由は何故か？）
するとA+1≦x≦A+2なら、A≦x-1≦A+1だから
f(x)≧f(x-1)-e≧m-e、同様にf(x)≦f(x-1)+e≦M+eとなる。 となる。
数学的帰納法から、A+n≦x≦A+(n+1) (nは正整数）のとき、m-ne≦ f(x)≦ M+neとなるが、
n≦x-Aであるから、結局A+1≦xの時、m-e(x-A)≦f(x)≦M+e(x-A)が成り立つ。

よって、A+1≦xの時、(m+eA)/x - e ≦f(x) / x ≦ (M-eA) + eであるので、xが「十分大きい時」（具体的にどうとればいいか？） -2e≦f(x)/x≦ 2eとなる。

ここで、eは任意の正実数であったことに注意。最後に確認ですが、きちんと上の証明の細部を埋めると、「f(x)は連続関数」であることをどっかで使います。

お礼

解法の流れ、略解を示していただき、ありがとうございます。なるほど、という感じです。意図されていることを読み込んで、目下、作成中です。