• ベストアンサー

y=|x|の証明について

y=|x|は定義域を実際に持つ連続関数であることを示せ という問題なのですが、自分はx=0のときを考え f(0)=0より、 lim_x→0 f(x)=0を示す。 任意のε>0に対して、ある値δが存在して |x|<δならば、|f(x)-0|=|x|=|x|<δ<ε   したがって連続である。 と回答しようと思ったのですが、一応連続関数であることは証明できていると思うのですが、定義域を実数に持つという所に関しては、どうしたらいいのかわかりません。 多分ε-δ論法で証明していくと思うのですが、どうしたらいいのでしょうか。 回答の程、よろしくお願いします。

  • KFNT
  • お礼率7% (7/89)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#152422
noname#152422
回答No.1

それだと0でしかチェックしてないことになります。 ||x|-|y||≦|x-y| を考えればまとめて評価できます。

関連するQ&A

  • 一様連続の証明問題です

    R上で定義された連続関数fが lim[x→+∞] f(x)=0 をみたすとする このときfは[0,∞)上で 一様連続であることを証明せよ. ※証明にはε-δ論法を用いよ という問題なんですが まったく歯がたちません どなたか教えてください お願いします

  • y=√xは,[0,4]で連続で・・・というのは,どういう意味ですか?x

    y=√xは,[0,4]で連続で・・・というのは,どういう意味ですか?x=0のとき連続と言えるのですか?x=0で連続を調べるときに,lim(x→-0)√x が定義できないので,関数の連続の定義にlim(x→-0)√x=lim(x→+0)√x=f(0)できないから,y=√xは,[0,4]で連続で・という表現がしっくりこないのですが。どうでしょうか?

  • 関数f(x,y)がxに関して一様にyについて連続

    関数f(x,y)がxに関して一様にyについて連続であるかの説明で分らないところがありました。 【f(x,y)の定義】 (x,y)≠(0,0)のとき、f(x,y)=2xy/(x^2+y^2) f(0,0)=0 【説明】 f(x,y)がxについてもyについても連続であるが2変数x,yの関数としては原点(0,0)で連続でない。 f(x,0)=0,y≠0のときf(x,y)=2xy/(x^2+y^2)であるから、与えられたε、0<ε<1に対して |y|<δならば|f(x,y)-f(x,0)|<ε となるためには、容易に確かめられるように δ≦|x|ε/(1+sqrt(1-ε^2)) でなければならない。故に極限lim{y→0}f(x,y)=f(x,0)の収束はxに関して一様でない。 と説明がありましたが、δ≦|x|ε/(1+sqrt(1-ε^2))の関係式の求め方が分りません。 途中の計算方法わかるかた、教えてください。 よろしくお願いします。

  • x>0を定義域とする関数f(x)=12(e^3x

    x>0を定義域とする関数f(x)=12(e^3x-3e^x)/e^2x-1について、以下の問いに答えよ。 (1)関数y=f(x)(x>0)は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。    すなわち、任意の実数aに対して、f(x)=aとなるx>0がただ1つ存在することを示せ。 (2)前問(1)で定められた逆関数をy=g(x)(-∞<x<∞)とする。このとき、定積分∫8 27(下が8で上が27です)   g(x)dx を求めよ。 解説とその理由をお願いします。 また、すなわち、任意の実数aに対して、f(x)=aとなるx>0がただ1つ存在することを示せ の部分の意味もどういうことかご説明お願いします。

  • f(x,y)=(x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)^-1/2 

    f(x,y)=(x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)^-1/2 の連続性を調べ、一階偏導関数をすべてもとめ、その連続性を調べ、(0,0)での全微分可能性を調べよ。 という問題がでました。 一階偏導関数はもとめられるのですが、f(x,y)の連続性、一階偏導関数の連続性がどうのようにしてもとめればいよいのかわからなくなってしまいました…ご教授ください! 全微分可能性は ε(h,k)=f(h,k)-f(0,0)=(h^2+k^2)sin(x^2+y^2)^-1/2 η(h,k)=ε(h,k)/(x^2+y^2)^-1/2 lim((h^2+k^2)^1/2→0)=0 よって(0,0)で全微分可能。 で大丈夫ですか?

  • ある区間での関数の連続性を示すためには?

    閉区間[0,1]上で定義された実数値関数fは、次の二つを満たす (1)任意の実数a,b、ただし0≦a≦b≦1に対し、集合{f(y)|a≦y≦b}は、区間{f(a),f(b)}または{f(b),f(a)}を含む。 (2)任意の実数cに対し、区間[0,1]に含まれるf(x)=cとなるような実数x全体の集合は閉集合(空集合もありうる)となる このとき、fが区間[0,1]で連続であることを示したいのですが まず、連続性を証明する方法をよく知りません。 ε-δ論法が連続性を示す方法の一つだということを聞きましたが、大学一回生のときの授業で習っていないのであまりよくわかっていません。これは、ε-δ論法を使って証明するのでしょうか? 他には、教科書を見直したところ、中間値の定理の逆(当然成り立ちませんが)に似ているので、そのあたりを使うのかとも思ったのですが。。。 ヒントになりそうなホームページや、アドバイスを頂けたら幸いです

  • lim[x→∞]f(x)/x=0の証明です。

    <問題> f(x)は連続関数で, lim[x→∞]{f(x+1)-f(x)}=0 ならば,  lim[x→∞]f(x)/x=0 を証明せよ。 苦手な関数の極限で、なす術がありません。どうか解答をお願いします。

  • 一様連続

    R(実数の集合)上で定義された連続関数fがlim[x→∞]f(x)=0を満たすとする。 このとき、fは[0,∞)上で一様連続であることを証明せよ。 という問題が解りません。解る方は教えてください。

  • 微分積分学

    微分積分学 関数f:A→Rがa∈Aで連続であるとは、aに収束するA内の任意の数列{Xn}に対し Lim[n→∞]f(Xn)=f(a) となることである。 ε-δ論法を用いて ∀∈>0、∃δ>0、 |x-a|<δ、x∈A⇒|f(x)-f(a)|<ε さらに任意のa∈Aで連続のときfはA上の連続関数である。 のε-δ論法の証明が分かりません(;∀;) どうやって証明すればいいんでしょうか…。

  • 同値である証明が何回やってもわかりません。

    何回やっても同値になりません。結果はわかっているのに証明ができなくて困っています。  実数で定義された関数f(x)に対して、以下の二条件は同値である。 (a)有限な極限値 limf(x)が存在する。 (b)limxn=∞ を満たす任意の数列{xn}に対しlimf(xn)が存在する。 limとの下は(a)ではx→∞、(b)ではn→∞