lim[x→∞]f(x)/x＝0の証明です。

質問

<問題>　f(x)は連続関数で，
lim[x→∞]｛f(x+1)－f(x)｝＝0 ならば，
　lim[x→∞]f(x)/x＝0
を証明せよ。

苦手な関数の極限で、なす術がありません。どうか解答をお願いします。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

任意のε>0に対して
あるK>0が存在して
t>Kとなる任意のtに対して
|f(t+1)-f(t)|<ε/2
だからnを任意の自然数とすると
|f(t+1)|-|f(t)|<ε/2
|f(t+2)|-|f(t+1)|<ε/2
|f(t+3)|-|f(t+2)|<ε/2
…
|f(t+n)|-|f(t+n-1)|<ε/2
を加えると
|f(t+n)|-|f(t)|<nε/2
両辺に|f(t)|を加えると
|f(t+n)|<|f(t)|+nε/2
両辺をnで割ると
|f(t+n)|/n<|f(t)|/n+ε/2
↓|f(t+n)|/(t+n)≦|f(t+n)|/n
↓だから
|f(t+n)|/(t+n)<|f(t)|/n+ε/2…(1)

閉区間K+1≦t≦K+2でfは連続だから
閉区間K+1≦t≦K+2でfは有界だから
ある自然数n_0が存在して
K+1≦t≦K+2
となる任意のtに対して
2|f(t)|/ε<n_0
となるから
|f(t)|/n_0<ε/2…(2)
となる
x≧K+2+n_0となる任意のxに対して
int[x-K-1]=n
t=x-n
とすると
x-K-1≧1+n_0
n>n_0…(3)
n≦x-K-1<n+1
K+1≦x-n<K+2
K+1≦t<K+2…(4)
x=t+n
|f(x)/x|=|f(t+n)|/(t+n)
だからこれと(4)と(1)から
|f(x)/x|<|f(t)|/n+ε/2
↓(3)から|f(t)|/n≦|f(t)|/n_0だから
|f(x)/x|<|f(t)|/n_0+ε/2
↓(2)から
|f(x)/x|<ε/2+ε/2
↓
|f(x)/x|<ε
∴
lim_{x→∞}f(x)/x=0