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Jordan開曲線と閉曲線の交点で始点に最近の点が
Cは複素数体,D⊂Cを開領域,Γ⊂DをJordan閉集合,更にI(Γ),O(Γ)をΓの内部,外部を表すものとする。 さて, q∈I(Γ),p∈O(Γ)∩Dを結ぶJordan開曲線L(L:[0,1]→D;L(0)=pが始点,L(1)=qが終点)が存在する。この時, min L^{-1}(Γ∩L([0,1])) ∈ [0,1] が存在する事を示せ。つまり,L([0,1])とΓとの交点の中で一番pに近いものが在る。 はどうすれば示せますでしょうか?
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[0,1]はコンパクト閉集合 コンパクト集合からの連続写像はコンパクト だから L([0,1])もコンパクト ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合 だから L([0,1])はコンパクト閉集合 同様に Γもコンパクト閉集合 閉集合と閉集合の共通部分は閉集合 だから Γ∩L([0,1])は閉集合 Lは連続だから L^{-1}(Γ∩L([0,1]))も閉集合 コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトだから L^{-1}(Γ∩L([0,1]))はコンパクト閉集合 [0,1]のコンパクト閉部分集合は有界閉集合だから 有界だから L^{-1}(Γ∩L([0,1]))の上限と下限が存在する 閉だから L^{-1}(Γ∩L([0,1]))の 上限は最大値 下限は最小値 となるから L^{-1}(Γ∩L([0,1]))の最大値と最小値が存在する ∴ min L^{-1}(Γ∩L([0,1])) ∈ [0,1] が存在する
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