曲線上の点P（x,y）における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。

質問

曲線上の点P（x,y）における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。次の問に答え...

曲線上の点P（x,y）における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。
次の問に答えよ。ただし、Oは原点を表し、｜PQ｜、｜OQ｜はそれぞれ線分PQ、OQの長さを表す。

(1) Lがつねに定点(a,b)を通る曲線の方程式を求めよ。
(2) ｜PQ｜=｜OQ｜となる曲線の方程式を求めよ。

(1)は以下のように考えました。
P(x,y)における法線はy’(Y-y)+X-x=0で、点(a,b)を通るので
y’(b-y)+a-x=0
yy’-by’+ x-a=0
(y-b)dy＝-(x-a)dx
両辺を積分して
整理すると、(x-a)^2＋(y-b)^2＝a^2+b^2

(2)は方程式の立て方が分かりません。

アドバイスお願い致します。

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

曲線f(x,y)=0上の点P（x,y）での接線ベクトル
を（ｄｘ、ｄｙ）
とすると
（ｘ－a,y-b)と直交するから
（x-a)dx+(y-b)dy=0
d{(x-a)^2+(y-b)^2}=0
(x-a)^2+(y-b)^2=Const.

（２）
Q(0,q)とすると
QP=(x,y-q)
xdx+(y-q)dy=0　・・・・（１）
|OQ|^2=q^2
|PQ|^2=x^2+(y-q)^2=q^2
x^2+y^2=2qy
（１）、すなわち、
2xydx+(2y^2-2qy)dy=0
に代入して
2xydx+(2y^2-(y^2+x^2))dy=0
2xydx+(y^2-x^2)dy=0
y^2d(x^2/y)+y^2dy=0
d(x^2/y)+dy=0
x^2/y+y=const.
x^2+y^2=2Cy
x^2+(y-C)^2=C^2
なお（ｙ＝０）はy≠0で法線がｘ軸と交わらないので解ではない）
ちなみにQは（0,C)
解は、Qを中心として、ｘ軸に接する円

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。